더핑 방정식

1. 개요[편집]

더핑 방정식 Duffing equation
표준형	ẍ + δẋ + αx + βx³ = γ cos ωt
유래	G. Duffing (1918), 변동 고유진동수의 강제진동
β > 0 / β < 0	경성(hardening) / 연성(softening) 스프링
α < 0, β > 0	이중우물 — 문-홈스 진동자
대표 현상	굽은 주파수응답 · 점프 · 이력
점프의 정체	주기해의 안장-마디 분기
카오스 문턱	멜니코프 방법

더핑 방정식(Duffing equation)은 복원력에 3차 비선형 항이 붙은 감쇠·강제 진동자를 기술하는 2계 상미분방정식으로, 표준형은

$$\ddot x + \delta\dot x + \alpha x + \beta x^3 = \gamma\cos\omega t$$

이다. 게오르크 더핑이 1918년 Erzwungene Schwingungen bei veränderlicher Eigenfrequenz에서 다룬 것이 이름의 출처다.¹ 선형 진동자에서 딱 한 글자 — $\beta x^3$ — 를 더한 것뿐인데, 그 대가로 주파수응답이 옆으로 휘고, 같은 구동 조건에서 진폭이 두 개가 되고, 진동수를 올릴 때와 내릴 때 답이 달라진다. 그리고 파라미터를 조금만 더 밀면 주기배가를 거쳐 카오스가 나온다.

이 식이 비선형 동역학의 표준 실험대가 된 이유는 두 가지다. 첫째, 거의 모든 복원력이 대칭이면 3차부터 비선형이다 — $\sin x \approx x - x^3/6$, 좌굴된 보, 큰 처짐의 판, 자기부상, 조셉슨 접합, MEMS 공진기가 전부 이 꼴로 떨어진다. 둘째, 자율계로 보면 2차원이지만 강제항 때문에 사실상 3차원이라 카오스 이론이 요구하는 최소 차원을 아슬아슬하게 만족한다. 손으로 계산이 되면서 동시에 카오스가 나는 몇 안 되는 계라는 뜻이다.

여기서는 정적 퍼텐셜 구조 → 조화 균형으로 얻는 굽은 주파수응답과 점프 → 주기배가와 카오스 → 이중우물과 호모클리닉 얽힘 순서로 간다. 얽힘 문턱의 적분 계산 자체는 멜니코프 방법이 소스이므로 여기서는 결과만 인용한다.

2. 퍼텐셜 — 계수 부호가 정하는 네 가지 세계[편집]

감쇠와 강제를 끄면 보존계이고 퍼텐셜이 전부를 말해 준다.

$$U(x) = \frac{\alpha}{2}x^2 + \frac{\beta}{4}x^4$$

$\alpha$	$\beta$	퍼텐셜	별명	실물
$>0$	$>0$	단일우물, 벽이 가파름	경성 스프링	인장 케이블, 고무
$>0$	$<0$	단일우물, 유한 구간 뒤 붕괴	연성 스프링	진자, 자기 복원력
$<0$	$>0$	$x=\pm\sqrt{-\alpha/\beta}$ 이중우물	문-홈스 진동자	좌굴된 보
$<0$	$<0$	뒤집힌 우물	(탈출 문제)	전복·좌굴 붕괴

경성/연성의 감각은 소진폭 고유진동수로 잡는 것이 빠르다. 진폭 $a$의 자유진동에서 유효 고유진동수는 뒤에 나올 뼈대 곡선

$$\omega_{\text{eff}}^2(a) = \alpha + \tfrac{3}{4}\beta a^2$$

를 따른다. $\beta>0$이면 크게 흔들수록 빨라지고($\to$ 응답 곡선이 오른쪽으로 휨), $\beta<0$이면 느려진다($\to$ 왼쪽으로 휨). 진자를 크게 흔들면 주기가 길어진다는 사실이 정확히 $\beta<0$ 쪽 얘기다.

$\alpha<0,\ \beta>0$이 이 문서에서 가장 재미있는 경우다. 원점이 안장, $\pm\sqrt{-\alpha/\beta}$가 중심인 이중우물이고, 원점에 붙은 호모클리닉 궤도가 닫힌 형태로 존재한다. 실물은 양 끝을 눌러 좌굴시킨 탄성 보다. 좌굴된 보는 왼쪽으로 휜 상태와 오른쪽으로 휜 상태 두 개의 안정 평형을 갖고, 곧게 편 상태가 그 사이의 안장이다. 문과 홈스가 1979년에 이 보 밑에 자석 두 개를 놓고 받침을 주기적으로 흔들어 자기탄성 스트레인지 어트랙터를 실험적으로 보인 것이 이 계가 유명해진 계기다.²

3. 조화 균형 — 주파수응답은 왜 휘는가[편집]

정상 주기응답을 구동과 같은 진동수의 순수 사인으로 가정한다. 이것이 조화 균형법(harmonic balance)이다.

$$x(t) \approx a\cos(\omega t - \varphi)$$

대입할 때 핵심은 3차 항의 삼각 항등식 하나다.

$$\cos^3\theta = \tfrac34\cos\theta + \tfrac14\cos3\theta$$

3차 비선형은 자기 자신의 진동수로 되돌아오는 성분을 $\tfrac34$만큼 갖는다. 3차 고조파 $\cos3\theta$를 버리고 $\cos(\omega t-\varphi)$와 $\sin(\omega t-\varphi)$ 계수를 각각 맞추면

$$a\Bigl(\alpha - \omega^2 + \tfrac34\beta a^2\Bigr) = \gamma\cos\varphi, \qquad \delta a\omega = \gamma\sin\varphi$$

두 식을 제곱해 더하면 위상 $\varphi$가 사라지고 진폭-진동수 관계만 남는다.

$$a^2\Bigl[\Bigl(\alpha - \omega^2 + \tfrac34\beta a^2\Bigr)^2 + (\delta\omega)^2\Bigr] = \gamma^2$$

$\beta=0$으로 두면 익숙한 선형 공진 곡선이 그대로 나온다. $\beta\ne0$일 때 달라지는 것은 공진 정점의 자리가 진폭에 따라 움직인다는 점 하나뿐인데, 이 하나가 곡선을 통째로 옆으로 눕힌다. 괄호 안이 0이 되는 자리 — 즉 감쇠가 없다면 진폭이 발산할 자리 — 가 앞서 말한 뼈대 곡선 $\omega^2 = \alpha + \tfrac34\beta a^2$이고, 응답 곡선의 정점들은 이 곡선을 따라 미끄러진다.

같은 식은 다중척도법으로도 나온다. $\delta,\gamma,\beta$를 모두 $O(\varepsilon)$으로 두고 $\omega^2 = \alpha + \varepsilon\sigma$의 주공진 근방에서 느린 시간 $T_1=\varepsilon t$에 대한 진폭·위상 방정식을 세우면, 그 고정점 조건이 정확히 위 관계식이다. 차이는 다중척도 쪽이 정상해뿐 아니라 과도 거동과 안정성까지 함께 준다는 것이다. 조화 균형은 어느 가지가 안정인지를 스스로 말해 주지 않는다.

4. 점프와 이력[편집]

위 관계식을 $z=a^2$, $u=\alpha-\omega^2$, $k=\tfrac34\beta$로 정리하면 $z$에 대한 3차 방정식이 된다.

$$F(z) \;=\; k^2z^3 + 2ukz^2 + \bigl(u^2 + \delta^2\omega^2\bigr)z \;=\; \gamma^2$$

3차식이니 해가 하나이거나 셋이다. 셋이 되는 조건은 $F$가 극값을 갖는 것, 즉 $F'(z)=3k^2z^2+4ukz+(u^2+\delta^2\omega^2)=0$이 양의 실근을 갖는 것이고, 판별식을 정리하면 놀랄 만큼 깔끔한 부등식이 떨어진다.

$$(\alpha-\omega^2)^2 > 3\,\delta^2\omega^2 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \bigl|\alpha-\omega^2\bigr| > \sqrt3\,\delta\omega$$

그리고 접힘이 일어나는 진폭은

$$z_\pm = \frac{-2u \pm \sqrt{u^2 - 3\delta^2\omega^2}}{3k}$$

이다. $z>0$이어야 하므로 경성 스프링($k>0$)에서는 $u<0$, 즉 $\omega^2>\alpha$ 쪽 — 선형 고유진동수보다 위에서만 접힌다. 연성이면 정확히 반대다. 세 해 중 가운데 가지는 언제나 불안정(안장형)이고 실험에서 보이지 않는다. 위·아래 두 가지만 관측되며, 그 사이를 오가는 것이 점프 현상(jump phenomenon)이다.

이력의 시나리오는 이렇다. 경성 스프링($\beta>0$)에서 구동 진동수를 천천히 올리면, 응답은 오른쪽으로 늘어난 상단 가지를 타고 계속 올라가다가 오른쪽 접힘점 $z_-$에서 갈 곳이 없어져 아래 가지로 뚝 떨어진다. 반대로 진동수를 내리면 하단 가지를 타고 오다가 왼쪽 접힘점에서 위로 튀어 오른다. 두 점프가 서로 다른 진동수에서 일어나므로 응답 곡선이 이력 고리를 그린다. 같은 $(\gamma,\omega)$에서 계가 어느 진폭에 있는지가 과거 이력에 달려 있다는 뜻이고, 이것이 선형 진동론에서는 상상할 수 없는 사태다.

접힘점의 정체는 **주기해의 안장-마디 분기**다. 푸앵카레 단면(구동 주기 $T=2\pi/\omega$마다 찍기)에서 보면 주기해는 사상의 고정점이고, 접힘점에서 안정 고정점과 안장 고정점이 충돌해 소멸한다. 연속체 역학에서 하중-변위 곡선의 스냅스루(snap-through)와 수학적으로 같은 사건이며, 그래서 수치 연속법의 호길이 연속(arc-length continuation)이 이 곡선을 그리는 표준 도구다. $\omega$를 매개변수로 놓고 뉴턴법을 돌리면 접힘점에서 야코비안이 특이해져 반드시 실패하므로, 곡선 위의 호길이를 매개변수로 바꾸는 그 요령이 여기서 필수가 된다. 불안정한 가운데 가지도 이 방법으로만 그릴 수 있다.

주의할 함정이 하나 있다. 조화 균형에서 버린 3차 고조파는 진짜로 무시해도 되는 크기가 아닐 때가 있다. $\beta a^2/\alpha$가 커지면 응답에 $\cos3\omega t$ 성분이 눈에 띄게 섞이고, 1항 근사가 예측한 접힘 위치가 수 % 어긋난다. 항을 몇 개 더 넣은 다조화 균형(HBM)이나 시간영역 시늉법(shooting)으로 검증하는 것이 실무 관행이다.

5. 부조화·초조화 공진[편집]

주공진($\omega\approx\sqrt\alpha$)만 있는 것이 아니다. 3차 비선형은 진동수를 3배로도, 1/3로도 접어 넣는다.

• 초조화 공진(superharmonic, $\omega \approx \tfrac13\sqrt\alpha$). 구동이 느린데 응답에 $3\omega$ 성분이 크게 실린다. 비선형 항이 $\cos^3\omega t$에서 $\tfrac14\cos3\omega t$를 만들어 고유진동수를 때리기 때문이다.
• 부조화 공진(subharmonic, $\omega \approx 3\sqrt\alpha$). 빠르게 흔드는데 응답이 구동의 1/3 진동수로 나온다. 이쪽은 자명해가 항상 존재하고 유한 진폭 가지가 아임계로 갈라져 나오므로, 문턱을 넘어도 초기조건이 충분히 크지 않으면 발현하지 않는다.

여기에 강성 자체가 주기적으로 흔들리는 경우를 겹치면 마티외-더핑이 되고, 마티외 방정식의 파라메트릭 불안정이 언제 켜지는지를 정하는 반면 더핑 항은 켜진 뒤 진폭이 어디서 멈추는지를 정한다.

6. 카오스로 가는 길[편집]

강제 진폭 $\gamma$를 키우면 주기해가 안정성을 잃는 방식이 하나 더 있다. 푸앵카레 사상의 고유값(플로케 승수)이 $-1$을 통과하는 주기배가다. 배가가 기하급수적으로 빨라지며 쌓이고, 그 축적률이 파이겐바움 상수 $\delta=4.6692\ldots$다. 축적점 너머가 카오스다.

가장 유명한 그림이 우에다의 계다. $\alpha=0$으로 선형 강성을 아예 없앤

$$\ddot x + k\dot x + x^3 = B\cos t$$

에서 $k=0.1,\ B=12$ 근방의 스트레인지 어트랙터가 **“일본 어트랙터”**로 불린다. 우에다가 1961년 아날로그 컴퓨터에서 이 그림을 처음 본 것은 로렌츠의 논문보다 앞서지만, 발표가 늦어 카오스 발견사에서는 각주로 밀려 있다.³

이중우물 쪽은 이야기가 조금 다르다. $\ddot x + \delta\dot x - x + x^3 = \gamma\cos\omega t$에서 강제와 감쇠가 없을 때 존재하던 호모클리닉 궤도가, 섭동이 붙으면 안정·불안정 다양체가 횡단 교차하며 스메일 말굽을 만든다. 그 문턱을 닫힌 형태로 주는 것이 멜니코프 방법이고, 결과는

$$\frac{\gamma}{\delta} > \frac{2\sqrt2}{3\pi\omega}\cosh\!\Bigl(\frac{\pi\omega}{2}\Bigr)$$

이다. 유도와 해석은 그 문서에 있다. 읽는 법만 여기서 강조해 두면, 이 문턱은 “카오스가 보이기 시작하는 값”이 아니라 **“두 우물의 흡인 유역 경계가 프랙탈로 얽히기 시작하는 값”**이다. 문턱을 막 넘긴 계에서 실제로 관측되는 것은 대개 지속적 카오스가 아니라 과도 카오스이며, “이 초기조건이 어느 우물에 정착하는가”가 사실상 예측 불가능해지는 것이 첫 증상이다. 좌굴된 보를 흔들었을 때 어느 쪽으로 휘어 멈출지 못 맞히는 그 상황.

7. 수치적으로 다루기[편집]

• 시간 적분. 강성(stiff)이 아니므로 고정 스텝 룽게-쿠타법 4차면 충분하다. 다만 카오스 영역에서는 개별 궤적의 장기 값에 의미가 없다 — 통계량(어트랙터 모양, 랴푸노프 지수, 분포)만 재현된다. 구동 주기당 스텝 수를 $2^n$으로 잡으면 푸앵카레 표본을 보간 없이 그대로 뽑을 수 있어 편하다.
• 푸앵카레 사상. $t = nT$에서 $(x,\dot x)$를 찍는다. 강제 진동자는 되돌이 시간이 상수라 교차 검출이 필요 없다는 것이 큰 이점이다.
• 분기 그림. $\gamma$나 $\omega$를 훑으며 과도구간을 버리고 푸앵카레 점을 세로로 찍으면 주기배가 캐스케이드가 보인다. 다중안정 구간에서는 파라미터를 올리며 훑은 그림과 내리며 훑은 그림이 다르다 — 그게 오류가 아니라 이력 그 자체다. 두 방향을 다 그려야 한다.
• 주파수응답 곡선. 위에서 말한 대로 조화 균형 + 수치 연속법이 정석이다. 시간 적분으로 곡선을 그리려 하면 접힘점에서 궤적이 다른 가지로 뛰어 버려 불안정 가지를 영원히 못 본다.
• 랴푸노프 지수. 변분방정식을 함께 적분하며 그람-슈미트 재직교화를 거는 표준 절차(랴푸노프 지수). 3차원 소산계이므로 지수 합이 $-\delta$로 고정된다는 것이 좋은 검산이다. 카오스 영역의 스펙트럼은 $(+,0,-)$ 꼴이 되어야 한다.

8. 어디서 실물로 나타나는가[편집]

• 좌굴된 구조물. 압축 하중을 받아 좌굴한 보·판을 진동시키면 이중우물 더핑이 된다. 두 좌굴 형상 사이를 오가는 스냅스루 진동이 피로 수명을 급격히 갉아먹기 때문에, 초음속 항공기의 표피 패널 플러터 문제에서 실무적으로 중요하다.
• MEMS·NEMS 공진기. 마이크로 캔틸레버는 변위가 두께에 비할 만해지면 곧바로 기하학적 경성 비선형이 뜨고, 주파수응답이 눈에 보이게 휜다. 점프 자체를 문턱형 센서로 쓰는 설계도 있다 — 질량이 얹혀 공진이 조금 밀리면 점프가 일어나 출력이 계단식으로 바뀐다.
• 전기 회로. 철심 인덕터는 자기 포화 때문에 $\phi$-$i$ 관계가 3차 꼴이 되고, 이것이 초기 더핑 연구의 실물 무대였다. 조셉슨 접합의 위상 방정식도 감쇠·강제 진자, 즉 연성 더핑의 사촌이다.
• 해양·차량. 계류된 부유체의 복원력, 비선형 서스펜션의 진행 스프링(progressive spring)이 모두 경성 더핑이다. 파랑 주기가 서서히 변하는 상황에서 점프가 일어나면 응답 진폭이 순간적으로 몇 배로 뛴다.

9. 관련 문서[편집]

• 멜니코프 방법 · 호모클리닉 궤도 · 스메일 말굽 · 흡인 유역
• 마티외 방정식 · 플로케 이론 · 이중 평균법 · 다중척도법 · 조화 균형법
• 안장-마디 분기 · 분기 이론 · 수치 연속법 · 파이겐바움 상수
• 푸앵카레 단면 · 랴푸노프 지수 · 카오스 이론 · 동역학계 · 끌개
• 극한 순환 · 판데르폴 진동자 · 좌굴 · 모드 해석 · 감쇠
• 룽게-쿠타법 · 카피차 진자

10. Footnotes[편집]

1. 더핑 본인은 카오스를 본 적이 없다. 그의 책은 손으로 풀 수 있는 근사 주기해와 그 안정성을 다루는 지극히 실용적인 공학서였고, “고유진동수가 진폭에 따라 변한다”는 제목 그대로의 관찰이 핵심이었다. 이 방정식에서 카오스가 나온다는 것을 알아차리는 데 인류는 반세기 가까이 더 걸렸다. ↩

2. Moon, F. C. & Holmes, P. J. (1979). A magnetoelastic strange attractor, J. Sound Vib. 65, 275. 얇은 강철 보 아래 자석 두 개를 놓아 이중우물을 만든 탁상 실험인데, 지금도 카오스 데모 장비로 팔린다. 실험이 이론보다 먼저 신기했던 흔치 않은 사례. ↩

3. 우에다 요시스케(Yoshisuke Ueda)가 교토대 대학원생 시절 아날로그 컴퓨터를 밤새 돌리다 본 것이라 “랜덤 천이 현상”이라는 이름으로 보고했는데, 지도교수가 “그건 회로 잡음일 것”이라며 발표를 말렸다는 회고가 유명하다. 그 사이 로렌츠의 1963년 논문이 나왔고, 카오스의 발견자 명단은 그렇게 정해졌다. 교훈: 이상한 결과가 나오면 일단 발표하고 보자. ↩