수학적 형태학

1. 개요[편집]

수학적 형태학 Mathematical Morphology
창시	조르주 마테롱 · 장 세라 (1964~, 퐁텐블로 광산학교)
기본 도구	구조요소(structuring element)
기본 연산	팽창 δ · 침식 ε · 열림 γ · 닫힘 φ
대수 구조	완비 격자 위의 수반쌍(adjunction)
대표 응용	잡음 제거 · 거리 변환 · 분수령 분할 · 입도 분석
가속	반 헤르크/길-베르만 O(1)/화소 · 구조요소 분해

수학적 형태학은 영상을 화소값의 배열이 아니라 집합으로 보고, 구조요소(structuring element)라는 작은 탐침 도형을 굴려서 그 형태를 분석·변형하는 이론이다. 1960년대 중반 프랑스 퐁텐블로 광산학교에서 조르주 마테롱(Georges Matheron)과 장 세라(Jean Serra)가 세웠다. 출발점이 순수 수학이 아니라 철광석 절편의 공극 구조와 투수율을 정량화하는 문제였다는 점이 이 분야의 성격을 결정했다 — 처음부터 “무엇을 재고 싶은가”가 “어떤 연산을 정의할 것인가”를 이끌었다.¹

핵심 발상은 이렇다. 선형 필터가 “가중 평균을 낸다”면, 형태학 필터는 “구조요소가 여기에 들어가는가”를 묻는다. 평균은 경계를 흐리지만 포함 관계는 경계를 지운 적이 없다. 그래서 형태학은 잡음 점을 지우면서도 물체의 모서리를 살리고, 크기·모양·연결성 같은 기하적 성질을 직접 다룰 수 있다. 대수적으로 보면 선형 필터가 $(+,\times)$ 위에 서 있는 데 반해 형태학은 $(\max,\min)$ 혹은 $(\min,+)$ 위에 서 있고, 그래서 볼록해석의 하한 합성곱과 문자 그대로 같은 골격을 공유한다.

2. 구조요소, 팽창과 침식[편집]

구조요소 $B$ 는 원점이 지정된 작은 집합이다. 3×3 정사각형, 십자, 반지름 $r$ 인 원판, 길이 $k$ 인 선분이 흔하다. $X_z = \{x + z : x \in X\}$ 를 평행이동이라 쓰면 두 기본 연산은 이렇다.

$$\delta_B(X) \;=\; \bigcup_{b \in B} X_b \;=\; X \oplus B, \qquad \varepsilon_B(X) \;=\; \bigcap_{b \in B} X_{-b} \;=\; \{\, z : B_z \subseteq X \,\}$$

팽창(dilation)은 민코프스키 합 그 자체이고 — 구조요소로 물체를 칠해서 부풀린다 — 침식(erosion)은 “구조요소가 통째로 물체 안에 들어가는 중심점들”을 남긴다.² 둘은 서로의 쌍대다.

$$\bigl(\varepsilon_B(X)\bigr)^{c} \;=\; \delta_{\check B}\bigl(X^{c}\bigr)$$

즉 전경을 깎는 것과 배경을 부풀리는 것은 같은 일이다($\check B$ 는 $B$ 의 원점 대칭). 그리고 더 깊은 구조가 하나 더 있다 — 두 연산은 수반쌍(adjunction)을 이룬다.

$$\delta_B(X) \subseteq Y \iff X \subseteq \varepsilon_B(Y)$$

이 한 줄이 형태학 정리들의 발전기다. 뒤에 나올 열림·닫힘의 멱등성이 전부 여기서 자동으로 떨어지고, 집합 대신 완비 격자(complete lattice) 아무거나 놓아도 이론이 그대로 돌아간다는 일반화(세라, 헤이만스-롱스)의 근거이기도 하다. 실제로 팽창은 상한을 보존하고 침식은 하한을 보존하는 사상이라는 것이 격자판 정의다.

3. 열림, 닫힘, 그리고 멱등성[편집]

두 연산을 합성하면 실무 필터가 나온다.

$$\gamma_B = \delta_B \circ \varepsilon_B \ (\text{열림}), \qquad \varphi_B = \varepsilon_B \circ \delta_B \ (\text{닫힘})$$

열림(opening)은 깎았다가 되살린다. 구조요소가 들어가지 못한 곳은 되살아나지 못하므로, 결과는

$$\gamma_B(X) = \bigcup \{\, B_z \;:\; B_z \subseteq X \,\}$$

— $X$ 안에 완전히 들어가는 구조요소들의 합집합이다. 물체보다 작은 잔점과 가느다란 돌기가 사라지고 나머지는 거의 그대로 남는다. 닫힘(closing)은 반대로 부풀렸다 깎아, 구조요소보다 작은 구멍과 틈을 메운다.

성질을 정리하면 이렇다.

연산	단조성	확장성	멱등성
팽창 δ	증가	확장적 (원점 포함 시)	없음
침식 ε	증가	축소적 (원점 포함 시)	없음
열림 γ	증가	축소적 γ(X) ⊆ X	있음
닫힘 φ	증가	확장적 X ⊆ φ(X)	있음

멱등성($\gamma\gamma = \gamma$)이 특히 중요하다. 가우시안 블러는 두 번 걸면 두 배로 흐려지지만, 열림은 두 번 걸어도 첫 번째와 결과가 같다. “이 필터를 몇 번 돌릴 것인가”라는 하이퍼파라미터가 아예 사라진다는 뜻이고, 형태학 필터가 파이프라인에서 예측 가능하게 행동하는 이유다.³ 증가·멱등을 만족하는 연산자를 형태학에서는 필터라 부르고, 열림과 닫힘을 크기 순으로 번갈아 거는 교대 순차 필터(ASF)가 잡음 제거의 표준 조합이다.

4. 그레이스케일 확장[편집]

이진에서 회색조로 넘어가는 것은 집합의 언어를 함수의 언어로 바꾸는 일이다. 평평한(flat) 구조요소, 즉 모양만 있고 높이는 0인 $B$ 에 대해

$$\delta_B(f)(x) = \max_{b \in B} f(x - b), \qquad \varepsilon_B(f)(x) = \min_{b \in B} f(x + b)$$

즉 팽창·침식은 최대 필터·최소 필터가 된다. 열림은 밝은 잔점(salt)을, 닫힘은 어두운 잔점(pepper)을 지운다. 회색조 열림을 원본에서 빼면 탑햇 변환(top-hat)이 되어, 조명이 완만하게 변하는 배경 위의 작고 밝은 구조만 뽑아낸다 — 불균일 조명 보정의 국룰.

구조요소에 높이를 주면(non-flat) 연산이 $(\max,+)$ 합성곱

$$\delta_g(f)(x) = \sup_y \{\, f(y) + g(x-y) \,\}$$

이 되고, 부호를 뒤집은 $(\min,+)$ 버전이 정확히 하한 합성곱이다. 그쪽 문서에 켤레·에피그래프 관점이 정리되어 있으니 여기서는 사실 하나만 짚어 둔다 — 형태학의 대수 구조와 볼록해석의 그것이 닮은 것은 우연이 아니라 둘 다 같은 반환(semiring) 위에 있기 때문이다.

5. 히트-오어-미스, 세선화, 골격[편집]

히트-오어-미스 변환은 “전경이 이 모양이고 동시에 배경이 저 모양인” 자리를 찾는다. 서로 겹치지 않는 두 구조요소 $(B_1, B_2)$ 에 대해

$$X \circledast (B_1, B_2) \;=\; \varepsilon_{B_1}(X) \,\cap\, \varepsilon_{B_2}(X^c)$$

전경 템플릿과 배경 템플릿을 동시에 요구하기 때문에 국소 패턴 검출기로 쓸 수 있다. 여기서 검출된 화소를 지우는 것이 세선화(thinning), 채우는 것이 굵힘(thickening)이며, 회전시킨 구조요소 쌍들을 순환적으로 적용해 수렴할 때까지 반복하면 물체가 폭 1의 선으로 줄어든다. 문자 인식의 획 추출, 회로 패턴 분석, 혈관 중심선 추출이 이 계열이다.

골격(skeleton)은 다른 길로도 정의된다. 랑퇴줄의 공식은

$$S(X) \;=\; \bigcup_{n \ge 0} \Bigl[\, \varepsilon_{nB}(X) \setminus \gamma_B\bigl(\varepsilon_{nB}(X)\bigr) \Bigr]$$

로, ”$n$ 번 침식한 결과에서 열림으로 되살아나지 않는 부분”을 모은다. 각 골격점에 침식 횟수를 기록해 두면 팽창으로 원래 형상을 복원할 수 있다. 연속 세계에서의 대응물이 중심축이고, 그것은 거리 변환의 능선으로도 얻어진다. 세 정의가 이산 격자에서 정확히 일치하지 않는다는 점, 그리고 세선화 결과가 연결성을 보존하려면 구조요소 순서를 신경 써야 한다는 점이 실무의 성가신 부분이다.

6. 형태학적 재구성과 분수령[편집]

형태학적 재구성(morphological reconstruction)은 실무에서 가장 자주 쓰이는 고급 연산이다. 마커 $M \subseteq X$ 에서 출발해 마스크 $X$ 안에 갇힌 채로 팽창을 반복한다(측지 팽창).

$$\delta^{(1)}_X(M) = \delta_B(M) \cap X, \qquad R_X(M) = \delta^{(1)}_X \circ \cdots \circ \delta^{(1)}_X (M) \ \ (\text{안정될 때까지})$$

결과는 마커가 닿은 연결 성분 전체다. 이걸로 구멍 메우기(배경에서 시작), 테두리에 닿은 물체 제거, 그리고 재구성에 의한 열림(침식 후 재구성)이 나온다. 보통의 열림이 살아남은 물체의 모서리까지 깎아 버리는 반면, 재구성 열림은 살릴지 말지만 결정하고 모양은 건드리지 않는다. 크기로 걸러내되 형태 계측값은 보존해야 하는 상황에서 필수다.

분수령 변환(watershed)은 회색조 영상을 지형으로 읽고 물을 채워 유역을 나눈다. 뷔셰-랑퇴줄(1979)이 제안했고, 뱅상-소이유(1991)의 침수 알고리즘이 화소를 값으로 정렬한 뒤 FIFO 큐로 훑어 선형 시간에 가깝게 끝낸다. 보통 원본이 아니라 기울기 크기 영상 위에서 돌리는데, 그러면 물체 경계가 능선이 되어 경계선을 따라 갈라진다. 문제는 국소 최소가 잡음만큼 많아 과분할이 일어난다는 것이라, 실무에서는 마커를 지정해 최소를 강제로 심는 마커 기반 분수령을 쓴다.⁴ 서로 붙은 알갱이를 나눌 때 거리 변환의 국소 최대를 마커로 삼는 조합이 이미지 분할의 고전 레시피다. 자세한 알고리즘은 분수령 변환 문서로 넘긴다.

7. 입도 분석[편집]

마테롱의 원래 동기로 돌아가는 부분. 크기 매개변수 $\lambda$ 로 커지는 열림들의 족 $\{\gamma_\lambda\}$ 이

$$\gamma_\lambda \gamma_\mu = \gamma_{\max(\lambda,\mu)}$$

를 만족하면 이를 입도 분석(granulometry)이라 한다. 체를 눈금이 굵어지는 순서로 겹쳐 쓰는 것과 같은 공리이고, 실제로 원판이나 정사각형처럼 볼록한 구조요소의 크기족이 이를 만족한다. 각 $\lambda$ 에서 남은 넓이를 재면 크기 분포가 나오고, 그 미분

$$PS(\lambda) \;=\; \frac{\bigl|\gamma_\lambda(X)\bigr| - \bigl|\gamma_{\lambda+1}(X)\bigr|}{|X|}$$

이 패턴 스펙트럼이다. 물체를 개별적으로 분할하지 않고도 “지름 5픽셀짜리가 전체 면적의 30%“를 읽을 수 있다는 것이 요점 — 서로 겹치고 붙어 있어 셀 수 없는 입자 사진에서도 통계가 나온다. 재료의 기공 크기 분포, 분말 입도 분석, 원격탐사 질감 분류가 이 도구를 쓴다.

8. 계산 복잡도와 가속[편집]

정의대로 구현하면 화소 $N$ 개, 구조요소 크기 $|B|$ 에 대해 $O(N|B|)$ 다. 반지름 20짜리 원판이면 화소당 1200회 비교라 그대로는 못 쓴다. 다행히 줄이는 길이 여럿 있다.

• 구조요소 분해. $\delta_{B_1 \oplus B_2} = \delta_{B_1} \circ \delta_{B_2}$ 이므로 큰 구조요소를 작은 것들의 민코프스키 합으로 쪼개면 합성으로 대체된다. $k \times k$ 정사각형은 가로 선분 $\oplus$ 세로 선분이라 $O(k)$ 로 떨어지고(분리가능), 길이 $2^m$ 선분은 자기 자신을 $m$ 번 팽창시켜 만들 수 있어 $O(\log k)$ 다. 원판은 정확히 분해되지 않아 팔각형이나 여러 방향 주기선(periodic line)의 합성으로 근사한다.
• 반 헤르크 / 길-베르만 알고리즘. 1차원 평평한 구조요소(길이 $k$)의 최대/최소 필터를 $k$ 와 무관하게 화소당 상수 시간에 계산한다. 신호를 길이 $k$ 블록으로 자르고 각 블록의 접두 최대 $R$ 과 접미 최대 $S$ 를 미리 구해 두면, 임의의 창의 최대는 두 블록에 걸친 값의 $\max(S[i],\,R[i+k-1])$ 하나로 나온다. 화소당 비교 세 번 남짓이며, 2차원 직사각형은 행·열로 두 번 돌리면 된다. 길-키멜(2002)이 상수를 더 깎았다.
• 거리 변환 경유. 반지름 $r$ 원판에 의한 침식은 거리 변환 값이 $r$ 이상인 화소들과 같다. 정확 유클리드 거리 변환이 화소당 상수 시간이므로, 한 번 계산해 두면 모든 반지름의 원판 침식·팽창이 임계값 하나로 나온다. 입도 분석처럼 여러 크기를 한꺼번에 훑어야 하는 작업에서 압도적이다.
• 이진 전용 트릭. 비트패킹으로 워드 단위 OR/AND를 쓰면 32~64배가 그냥 나온다. 90년대 형태학 라이브러리들이 실제로 이렇게 짜여 있었다.

9. 한계와 위치[편집]

형태학은 크기와 모양이 의미를 갖는 문제에서 강하다. 반대로 말하면 구조요소를 무엇으로 잡을지가 사실상 전부이고, 그 선택은 여전히 사람 몫이다. 회전이나 스케일이 자유로운 대상에는 취약하고(원판을 쓰면 방향 정보를 잃고, 선분을 쓰면 방향마다 돌려야 한다), 질감이 통계적으로만 구별되는 경우에는 별 힘을 못 쓴다. 오늘날 합성곱 신경망이 저수준 비전의 상당 부분을 가져간 것도 이 지점 때문이다.

그럼에도 형태학이 사라지지 않는 이유는 세 가지다. 결정론적이고 학습 데이터가 필요 없다는 것, 연산의 성질(단조·멱등·쌍대)이 증명되어 있어 파이프라인의 행동을 예측할 수 있다는 것, 그리고 싸다는 것. 반도체 검사, 의료 영상 전·후처리, 위성 영상 계측처럼 결과를 설명해야 하는 현장에서는 지금도 첫 번째 카드다.

10. 관련 문서[편집]

• 민코프스키 합 · 거리 변환 · 하한 합성곱
• 볼록 껍질 · 지지함수
• 분수령 변환 · 이미지 분할 · 골격화 · 입도 분석
• 그래프 컷 · 전변분 잡음제거 · 합성곱 신경망
• 보로노이 다이어그램 · 내비게이션 메시

11. Footnotes[편집]

1. 마테롱이 풀려던 문제는 광석의 공극률과 투수율의 관계였고, 세라는 로렌 지방 철광석의 암석 절편을 정량화하려 했다. 그래서 초기 장비 이름이 아예 “텍스처 분석기”였다. 순수 수학에서 응용이 나온 게 아니라 광산에서 대수학이 나온 흔치 않은 사례이고, 이 분야가 지금도 “재고 싶은 양”을 먼저 정의하고 연산을 그 뒤에 놓는 습관을 가진 이유다. ↩

2. 침식의 정의를 “구조요소가 통째로 들어가는 자리”로 외우면 부호 실수가 줄어든다. 반대로 팽창을 “구조요소를 붓처럼 칠한 자국”으로 외우면 된다. 문헌마다 반사($\check B$)를 어디에 붙이느냐가 달라서 수식만 보고 옮겨 적으면 십중팔구 좌우가 뒤집힌 결과가 나오는데, 대칭 구조요소를 쓰면 그 차이가 사라지므로 실무 코드가 대부분 대칭 구조요소만 쓰는 데는 이유가 있다. ↩

3. “블러를 두 번 걸면 두 배로 흐려지는데 열림은 두 번 걸어도 그대로”라는 성질은 처음 보면 시시해 보이지만, 파이프라인을 운영해 본 사람에게는 축복이다. 파라미터 하나가 사라진다는 것은 튜닝 조합이 한 차원 줄어든다는 뜻이고, 그건 곧 금요일 밤에 돌려 놓은 배치가 월요일에 설명 가능한 결과를 내놓는다는 뜻이다. ↩

4. 분수령의 과분할은 처음 써 보는 사람이 반드시 한 번은 겪는다. 기울기 영상에 그냥 돌리면 세포 하나가 스무 조각으로 갈라진 그림이 나오고, 사람들은 대개 이 단계에서 “형태학은 못 쓰겠다”고 결론 내린다. 정답은 알고리즘을 바꾸는 게 아니라 최소를 강제로 심는 것이다. 마커 하나가 파라미터 열 개를 이긴다. ↩