크리깅

통계 수치해석 시뮬레이션 마지막 수정: 2026-08-29 04:47:19

1. 개요[편집]

크리깅 Kriging
정체	최적 선형 불편 예측 (BLUP)
모형	배리오그램 γ(h) — 너깃·시빌·레인지
제약	가중치 합 = 1 (라그랑주 승수 μ로 강제)
산출	추정값 + 크리깅 분산
이름	D. G. 크리게(남아공 광산기사) ← 마트롱이 명명
동치	가우시안 프로세스 회귀와 수학적으로 같은 물건
비용	O(n³) — 그래서 실무는 이동 근방을 쓴다

역거리가중은 답을 준다. 크리깅은 답과 함께 그 답을 얼마나 믿으면 되는지를 준다. 그 차이 하나로 학문이 하나 생겼다.

크리깅(kriging)은 공간적으로 흩어진 관측값의 선형결합으로 미관측 지점의 값을 예측하되, 불편성 제약 아래에서 예측오차의 분산을 최소화하도록 가중치를 푸는 공간 보간 기법이다. 대상을 확정된 함수가 아니라 확률장(random field)으로 보고, 그 장의 공간 상관 구조를 배리오그램으로 요약한 뒤, 그 구조가 지시하는 최적 가중치를 방정식으로 계산한다.

관행적으로 BLUE(최적 선형 불편 추정량)라고 부르지만, 엄밀히는 미지의 상수를 추정하는 것이 아니라 확률변수 $Z(\mathbf{x}_0)$ 를 예측하는 것이므로 BLUP(최적 선형 불편 예측량)이 맞다. 사소해 보이는 구별이지만, 크리깅 분산이 “추정량의 분산”이 아니라 “예측오차의 분산”인 이유가 여기 있다.

이름은 남아공 금광의 품위를 추정하던 광산기사 대니 크리게(D. G. Krige)에게서 왔고, 그것을 확률장 이론으로 정식화하고 krigeage 라 명명한 것은 조르주 마트롱(1963)이다. 다만 수학적 뿌리는 그보다 이르고 여러 곳에서 독립적으로 나왔다.¹

2. 배리오그램[편집]

크리깅의 전부는 공간 상관을 어떻게 요약하느냐에 달려 있고, 그 요약이 배리오그램이다. 정의는

2\gamma(\mathbf{h})=\mathbb{E}\left[\left(Z(\mathbf{x}+\mathbf{h})-Z(\mathbf{x})\right)^2\right]

이고 $\gamma$ 를 세미배리오그램(관행상 그냥 배리오그램이라 부른다)이라 한다. 공분산 $C(\mathbf{h})$ 가 아니라 증분의 분산을 쓰는 이유가 중요하다. 2차 정상성(분산이 유한하고 공분산이 $\mathbf{h}$ 에만 의존)을 가정하면 둘은

\gamma(\mathbf{h})=C(\mathbf{0})-C(\mathbf{h})

로 이어지지만, 배리오그램은 분산이 존재하지 않는 장에서도 정의된다. 브라운 운동처럼 시빌이 없고 무한정 자라는 장이 실제 지질 자료에서 흔하기 때문에, 더 약한 가정(내재 가설)만 요구하는 배리오그램 쪽이 살아남았다.

자료로부터의 추정은 거리 구간별 제곱차의 평균이다.

\hat\gamma(\mathbf{h})=\frac{1}{2\left|N(\mathbf{h})\right|}\sum_{(i,j)\in N(\mathbf{h})}\left(z_i-z_j\right)^2

이 실험 배리오그램을 그리면 세 가지 양이 읽힌다.

너깃(nugget) $c_0$ — 원점에서의 불연속. 거리가 0으로 가도 남는 분산이며, 두 가지가 섞여 있다. 측정오차와, 최소 시료 간격보다 작은 규모의 실제 변동이다. 이름은 금광에서 왔다 — 시료 하나에 금 알갱이가 들어갔느냐 아니냐가 품위를 통째로 바꾼다. 자료만으로는 이 둘을 분리할 수 없고, 같은 지점을 중복 시료한 자료가 있어야 나뉜다.
시빌(sill) $c_0+c$ — 평탄해지는 높이. 장의 전체 분산에 해당한다.
레인지(range) $a$ — 시빌에 도달하는 거리. 이 거리를 넘으면 두 지점은 실질적으로 무상관이다. 즉 상관 길이다.

모형은 아무 매끄러운 곡선이나 쓸 수 없다. 크리깅 방정식이 유일해를 가지려면 $-\gamma$ 가 조건부 양정치여야 하고(동치로 $C$ 가 양정치), 이 조건을 통과하는 함수족은 생각보다 좁다. 그래서 실무는 검증된 몇 개만 쓴다.

모형	형태	특징
구형	3차 다항 후 상수	레인지에서 정확히 시빌 도달. 지질 자료 국룰
지수형	$1-e^{-h/a}$	점근 도달. 실효 레인지 $\approx3a$
가우시안	$1-e^{-h^2/a^2}$	원점에서 매우 매끄러움. 행렬이 특이해지기 쉽다
마테른	$\nu$ 로 매끄러움 조절	지수형( $\nu=0.5$ )과 가우시안( $\nu\to\infty$ )을 잇는 일반형
멱함수	$h^\alpha$	시빌 없음. 자기유사·추세가 있는 장

이방성은 거의 언제나 있다. 방향별로 레인지가 다른 기하 이방성은 좌표를 타원에 맞춰 변환해 등방으로 만든 뒤 처리하고, 방향별로 시빌 자체가 다른 구역 이방성은 중첩 구조로 표현한다. 층리를 따라 상관 길이가 수백 m인데 층을 가로지르면 수 m인 퇴적층이 전형적인 예다.

적합은 눈대중이 아니라 가중최소제곱(구간별 쌍의 개수와 $\gamma$ 값으로 가중)이나 REML로 한다. 그리고 실험 배리오그램의 먼 거리 구간은 믿지 않는 것이 규칙이다 — 조사 영역 폭의 절반을 넘으면 쌍의 개수가 급감하고, 구간당 쌍이 30개 아래면 점 자체가 잡음이다.

3. 보통 크리깅 방정식계[편집]

평균 $m$ 이 미지의 상수라고 두는 것이 보통 크리깅(ordinary kriging)이다. 추정량을 선형결합으로 놓고

\hat Z(\mathbf{x}_0)=\sum_{i=1}^{n}w_i\,Z(\mathbf{x}_i)

불편성을 요구하면 제약이 곧바로 튀어나온다.

\mathbb{E}\left[\hat Z-Z\right]=m\left(\sum_i w_i-1\right)=0 \quad\text{모든 }m\text{ 에 대해}\quad\Longrightarrow\quad\sum_i w_i=1

여기가 핵심이다. 평균을 모른다는 사실 하나가 “가중치 합 = 1”이라는 제약을 낳는다. 평균을 안다면(단순 크리깅) 이 제약이 없고, 가중치 합의 부족분을 알려진 평균이 메운다.

이제 제약 아래에서 예측오차 분산 $\mathrm{Var}[\hat Z-Z]$ 를 최소화한다. 라그랑주 승수법으로

L=\mathrm{Var}\left[\hat Z-Z\right]-2\mu\left(\sum_i w_i-1\right)

을 $w_i$ 와 $\mu$ 에 대해 정류시키면 $n+1$ 개 방정식이 나온다.

\sum_{j=1}^{n}w_j\,\gamma\!\left(\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j\right)+\mu=\gamma\!\left(\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_0\right), \qquad \sum_{j=1}^{n}w_j=1

행렬로 쓰면 배리오그램 행렬에 1로 된 테두리가 한 줄 붙은 테두리 행렬(bordered matrix)이다. 대칭이지만 양정치가 아니다 — 라그랑주 행 때문에 안장점 구조가 되어 부정치가 되며, 그래서 촐레스키 분해를 그대로 쓸 수 없고 LDL이나 대칭 부정치 분해를 쓴다. 유한요소 쪽에서 비압축성 제약이나 혼합 정식화가 만드는 그 구조와 정확히 같은 얼굴이다.

풀고 나면 승수 $\mu$ 는 버리는 값이 아니다. 바로 다음 절에서 크리깅 분산의 일부로 다시 등장한다.

4. 크리깅 분산[편집]

최소화된 예측오차 분산이 크리깅 분산이다.

\sigma_{OK}^2(\mathbf{x}_0)=\sum_{i=1}^{n}w_i\,\gamma\!\left(\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_0\right)+\mu

이 한 줄이 크리깅을 다른 모든 보간법과 갈라놓는다. 성질 셋을 짚어야 한다.

관측점에서 0이 된다. $\mathbf{x}_0$ 가 자료점 $\mathbf{x}_k$ 와 겹치면 우변 벡터가 좌변 행렬의 $k$ 번째 열과 같아지므로 해는 $w_k=1$ , 나머지 0, $\mu=0$ 이 되고 $\sigma^2_{OK}=0$ 이다. 즉 크리깅은 정확 보간자다. 다만 너깃이 있으면 관측점에서 값은 그대로 통과하되 그 주변에서 곡면이 툭 튀어 불연속이 생긴다 — 너깃을 측정오차로 보면서도 자료를 그대로 통과시키라고 요구했기 때문에 생기는 모순이며, 오차를 걸러내고 싶으면 너깃을 필터링하는 변형을 따로 써야 한다.

멀어지면 커져 시빌로 수렴한다. 모든 자료가 레인지 밖에 있으면 가중치가 균등해지고 분산은 장의 전체 분산에 수렴한다. “아무 정보가 없으면 사전분산을 돌려준다”는 뜻이며, 이 성질이 지도 위에 신뢰구간의 지형도를 그릴 수 있게 한다. 추가 시추 위치를 고르는 실무 절차가 이 지도 위에서 진행된다.

자료 값에 의존하지 않는다. 위 식 어디에도 $z_i$ 가 없다. 크리깅 분산은 자료의 배치와 배리오그램 모형만의 함수다. 값이 요동치는 구역이든 밋밋한 구역이든 시료 배치가 같으면 같은 분산이 나온다. 이것은 계산 편의(시추 계획을 자료 없이 미리 짤 수 있다)인 동시에 가장 자주 인용되는 한계다. 국소적 불확실성을 진짜로 원한다면 조건부 시뮬레이션(순차 가우스 시뮬레이션 등)으로 실현을 여러 개 만들어야 한다.

관측점 30개에서 지수형 배리오그램 γ(h)=c₀+c₁(1−exp(−3h/a))로 (N+1)×(N+1) 보통 크리깅 연립계를 풀어 예측면(왼쪽)과 크리깅 분산면(오른쪽)을 나란히 낸다. 너깃 c₀=0이면 관측점에서 예측값이 관측값과 5.0e−16까지 일치하고 분산도 6.7e−16으로 꺼지지만, c₀를 0.20으로 올리면 관측점 잔차가 0.12로 벌어지면서 면이 매끄러워진다. 참값 대비 RMSE는 레인지 a=0.10/0.25/0.50에서 0.3263/0.1959/0.1373이다.

여기에 딸려 오는 성질 둘. 가중치는 음수가 될 수 있다 — 멀리 있는 자료가 가까운 자료에 가려지는 차폐 효과(screen effect)의 결과이며, 덕분에 추정값이 자료 범위 밖으로 나갈 수 있다. 품위 추정에서는 유용하지만 농도나 두께처럼 음수가 금지된 양에서는 사고가 된다. 그리고 크리깅은 뭉쳐 있는 시료를 자동으로 깎는다(declustering). 좌변 행렬이 자료끼리의 중복성을 이미 담고 있어서, 한곳에 몰린 열 개가 흩어진 열 개보다 총 가중치를 적게 받는다. 손으로 declustering 가중치를 계산하던 시절을 끝낸 것이 이 성질이다.

마지막으로 평활화. 크리깅 결과의 분산은 실제 장의 분산보다 작다. 조건부 기댓값을 그리는 것이니 당연하지만, 그 결과 지도에서 극단값이 사라진다. 수리전도도 문서가 지적하듯 오염물 도달 시간을 지배하는 것은 평균이 아니라 연결된 고투수 경로이고, 매끄러운 크리깅 장에는 그 경로가 없다. 크리깅 지도 한 장으로 이송 계산을 돌리면 도달 시간이 계통적으로 늦게 나온다.

5. 역거리가중과의 차이[편집]

가장 흔한 비교 대상은 역거리가중(IDW)이다. $w_i\propto1/d_i^{\,p}$ 로 가중치를 미리 정해 버리는 방식.

항목	역거리가중	크리깅
가중치	거리만의 함수, 사용자가 $p$ 를 고름	자료의 상관구조에서 방정식으로 결정
이방성	기본적으로 처리 못 함	이방성 배리오그램으로 자연스럽게
군집 시료	중복 계산되어 과대 반영	자동 declustering
값의 범위	항상 자료 최소~최대 사이	밖으로 나갈 수 있음
불확실성	없음	크리깅 분산
비용	점당 $O(n)$	행렬 분해 $O(n^3)$

차이를 한 줄로 줄이면 **“분산을 주느냐”**다. 나머지 항목들은 정도의 문제고, 자료가 촘촘하고 등방이며 고르게 깔려 있으면 두 방법의 추정값 자체는 놀랄 만큼 비슷하게 나온다. 그런데 지도 옆에 오차 지도를 놓을 수 있느냐 없느냐는 정도의 문제가 아니다. 시추공 하나를 어디에 더 뚫을지, 이 예측을 근거로 규제 결정을 내려도 되는지가 그 지도에서 나온다.

물론 대가가 있다. 크리깅은 배리오그램 모형이라는 추가 가정을 요구하고, 그 모형이 틀리면 분산도 함께 틀린다. 자료가 20개인데 배리오그램을 자신 있게 적합할 수 있다고 믿는 것이 이 분야에서 가장 흔한 자기기만이다.²

6. 가우시안 프로세스와 같은 물건[편집]

크리깅과 가우시안 프로세스 회귀는 다른 분야에서 독립적으로 발명된 같은 수학이다. 단순 크리깅(평균 $m$ 을 안다고 가정)의 해를 공분산 형태로 쓰면

\hat Z(\mathbf{x}_0)=m+\mathbf{c}_0^{\mathsf T}\mathbf{C}^{-1}\left(\mathbf{z}-m\mathbf{1}\right), \qquad \sigma^2=C(\mathbf{0})-\mathbf{c}_0^{\mathsf T}\mathbf{C}^{-1}\mathbf{c}_0

이고, 이것은 GP 회귀의 사후평균·사후분산 공식과 기호까지 같다. 대응표는 이렇다.

지구통계	기계학습
배리오그램 $\gamma$	커널(공분산 함수) $k$
시빌	커널 진폭 $\sigma_f^2$
레인지	길이 척도 $\ell$
너깃	관측 잡음 $\sigma_n^2$
마테른 $\nu$	매끄러움 초모수
보통 크리깅	상수 추세에 평평한 사전분포를 준 GP
유니버설 크리깅	기저함수 추세를 둔 GP
배리오그램 적합(WLS)	주변우도 최대화(최대우도추정)

보통 크리깅의 라그랑주 승수 $\mu$ 도 정체가 있다. 미지의 평균에 개선사전분포(무정보 평면 사전분포)를 주고 적분해 소거하면, 추세를 몰라서 추가로 지불하는 분산이 정확히 그 $\mu$ 항으로 나온다. “제약을 걸어 최소화한 것”과 “모르는 모수를 적분해 없앤 것”이 같은 답을 준다는 뜻이다. 같은 식이 능형회귀의 커널 형태와도 이어져 있으며, 정규화된 회귀·재생핵 힐베르트 공간·베이즈 비모수·지구통계가 사실 한 물건이라는 이야기의 네 번째 얼굴이 크리깅이다.

문화적 차이는 남는다. 지구통계 쪽은 입력이 2~3차원이고 강한 이방성과 추세를 다루며 이동 근방으로 국소적으로 푼다. 기계학습 쪽은 입력 차원이 크고 차원별 길이 척도를 자동으로 학습(ARD)하며 전역으로 푼다. 그래서 대리 모델과 베이지안 최적화의 문헌은 GP라 쓰고, 광산·수문 문헌은 크리깅이라 쓴다.

7. 실무의 함정[편집]

$O(n^3)$ 과 이동 근방. 자료가 수만 개면 전역 계는 못 푼다. 그래서 각 예측점마다 가까운 $k$ 개(보통 20~40개)만 골라 작은 계를 푸는 이동 근방이 표준이다. 부작용은 근방 집합이 바뀌는 선을 따라 지도에 불연속선이 생긴다는 것. 등고선이 부자연스럽게 꺾이면 물성이 아니라 탐색 반경을 의심해야 한다.
가우시안 모형의 특이성. 원점에서 너무 매끄러운 공분산은 가까운 자료끼리 거의 완전상관이 되어 행렬 조건수를 폭발시킨다. 처방은 아주 작은 너깃을 넣는 것이고, GP 쪽에서 같은 이유로 대각에 $10^{-8}$ 을 더하는 “지터”와 정확히 같은 행위다.
추세와 정상성. 명확한 추세(예: 고도에 따라 증가하는 강수)가 있으면 실험 배리오그램이 시빌에 도달하지 않고 계속 올라간다. 그대로 보통 크리깅을 돌리면 안 되고, 유니버설 크리깅이나 외부 드리프트 크리깅으로 추세를 명시해야 한다.
검증. 교차검증(하나씩 빼기)으로 표준화 잔차를 보는 것이 최소 절차다. 잔차 평균이 0에서 벗어나면 편향, 분산이 1에서 크게 벗어나면 시빌 크기가 틀린 것이다. 추정값만 맞고 분산이 틀린 모형은 크리깅을 쓰는 이유를 통째로 없앤다.
변종. 지시 크리깅(임계값 초과 확률), 공동 크리깅(부차 변수 활용), 블록 크리깅(점이 아니라 구역 평균 — 분산이 작아진다), 외부 드리프트 크리깅. 각각 제약식이 하나씩 추가되거나 대상이 바뀔 뿐 골격은 위 방정식계 그대로다.

8. 쓰이는 곳[편집]

광산 품위 추정이 출발점이었지만 지금은 훨씬 넓다. 지하수 유동 모델의 물성 장 생성과 MODFLOW 보정의 파일럿 포인트 보간, 토양 오염도 지도, 기상·강수 격자화, 광산 매장량 평가, 그리고 대리 모델 기반 설계 최적화 — 계산이 비싼 시뮬레이션을 소수의 설계점으로 근사하는 문제는 입력 공간이 좌표가 아닐 뿐 수학이 같다. 이때 크리깅 분산은 “다음에 어디를 계산할 것인가”를 정하는 획득함수의 재료가 된다. 불확실성 정량화와 실험계획법이 크리깅과 늘 붙어 다니는 이유다.³

9. 관련 문서[편집]

같은 수학이 최소 세 곳에서 독립적으로 나왔다. 콜모고로프가 1940년대 초 정상 확률과정의 보간·외삽 이론으로, 기상학에서는 간딘이 “객관 분석”이라는 이름으로, 광산에서는 크리게와 마트롱이. 그래서 문헌을 가로지르면 같은 식이 크리깅·객관 분석·GP 회귀·위너-콜모고로프 필터·RKHS 보간이라는 다섯 개 이름을 갖고 있다. 분야 사이 벽이 얼마나 두꺼운지에 대한 좋은 표본. ↩
배리오그램 적합은 이 분야에서 가장 주관적인 단계로 악명 높다. 같은 자료를 준 실험에서 참가자마다 다른 레인지를 골랐고, 추정값 지도는 비슷했지만 크리깅 분산 지도는 눈에 띄게 달랐다. 즉 크리깅이 자랑하는 그 산출물이 하필 모형 선택에 가장 민감하다. 등고선을 예쁘게 그리는 것보다 배리오그램 그림을 보고서에 첨부하는 쪽이 훨씬 중요한 이유. ↩
여담으로 “크리깅”이라는 표기도 통일돼 있지 않다. 크리게(Krige)의 이름에서 왔으니 원음에 가깝게는 “크리기”에 가깝지만 프랑스어 krigeage 를 거쳐 영어 kriging 이 되고 다시 한국어로 들어오면서 크리깅으로 굳었다. 사람 이름이 동사가 되었다가(to krige) 다시 명사가 된 흔치 않은 사례이고, 정작 크리게 본인은 이 방법을 발명했다기보다 회귀 아이디어를 광산에 적용한 쪽에 가깝다. 이름은 대체로 발명자에게 가지 않는다. ↩

크리깅