달시-바이스바흐 식

1. 개요[편집]

달시-바이스바흐 식 Darcy–Weisbach equation
형태	hf = f (L/D) V²/(2g)
계보	바이스바흐(1845) 형태 · 다르시(1857) 조도 실험
층류	f = 64/Re (조도 무관)
난류	콜브룩-화이트 음함수식
도표	무디 선도 (1944)
주의	패닝 마찰계수 fF = f/4
완전난류 기준	Re (ε/D) √f > 200 (ε⁺ > 70)

이 바닥에서 유일하게 차원이 맞는 마찰 공식인데, 대가로 음함수 방정식 하나를 매번 풀어야 한다.

달시-바이스바흐 식(Darcy–Weisbach equation)은 관로에서 마찰에 의한 수두손실을 관 길이·지름·속도수두와 무차원 마찰계수로 표현하는 관계식이다.

$$h_f=f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \Delta p=f\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho V^2}{2}$$

$f$ 가 다르시 마찰계수(Darcy friction factor)이며 무차원이다. 이 무차원성이 이 식의 전부다 — 매닝 공식의 $n$ 이나 헤이즌-윌리엄스 공식의 $C_{HW}$ 와 달리, $f$ 는 단위계를 바꿔도 값이 안 변하고 유체 종류·온도가 바뀌면 레이놀즈수를 통해 자동으로 반영된다.

관유동 문서가 층류 정확해와 무디 선도의 개요를 다루므로, 여기서는 $f$ 를 실제로 어떻게 구하는가 — 콜브룩 음함수식의 수치해법, 명시적 근사식들의 실제 오차, 그리고 왜 다른 마찰식들이 물리적으로 열등한가에 집중한다.

2. 벽면 전단에서 f 의 정의[편집]

$f$ 는 임의로 정한 계수가 아니라 벽면 전단응력의 무차원화다. 정상 완전발달 관유동의 힘 균형에서

$$\Delta p\,\frac{\pi D^2}{4}=\tau_w\,\pi D L \quad\Longrightarrow\quad \tau_w=\frac{\Delta p\,D}{4L}=\frac{f}{8}\rho V^2$$

즉 $f=8\tau_w/(\rho V^2)$ 다. 여기서 두 가지가 곧바로 따라 나온다.

층류의 정확해. 하겐-푸아죄유 해 $\Delta p=32\mu LV/D^2$ 를 넣으면

$$f=\frac{64\mu}{\rho VD}=\frac{64}{Re}$$

가 나온다. 근사가 아니라 나비에-스토크스의 정확해에서 유도된 값이고, 벽면 조도와 무관하다. 층류 경계층이 조도 돌기를 덮어 버리기 때문이다. 이 사실이 검증 및 확인 벤치마크로 관유동이 사랑받는 이유이기도 하다.

패닝과 헷갈리지 말 것. 화공 쪽은 $f_F=\tau_w/(\tfrac12\rho V^2)=f/4$ 인 패닝 마찰계수를 쓴다. 층류에서 $f_F=16/Re$ 다. 논문의 그래프가 $16/Re$ 로 시작하면 패닝, $64/Re$ 로 시작하면 다르시다. 이걸 섞으면 압력손실이 정확히 4배 틀리고, 그 정도면 대개 눈에 띄어서 다행이다.¹

3. 콜브룩-화이트 식[편집]

난류에서 $f$ 는 $Re$ 와 상대조도 $\varepsilon/D$ 둘에 의존한다. 콜브룩과 화이트(1937~1939)가 상용관 실험에 맞춘 식이 사실상 표준이다.

$$\frac{1}{\sqrt f}=-2\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon/D}{3.7}+\frac{2.51}{Re\sqrt f}\right)$$

$f$ 가 양변에 있어서 닫힌 형태로 안 풀린다. 이 식의 정체는 두 극한을 매끄럽게 이은 보간이다.

• $\varepsilon\to0$ — 매끈한 관 법칙(프란틀-폰 카르만): $1/\sqrt f=2\log_{10}(Re\sqrt f)-0.8$
• $Re\to\infty$ — 완전거친난류 법칙(폰 카르만): $1/\sqrt f=1.14-2\log_{10}(\varepsilon/D)$

두 번째 극한에서 $f$ 가 $Re$ 와 완전히 무관해지는 것이 완전난류 영역이다. 판별 기준은 조도 레이놀즈수 $\varepsilon^+=u_*\varepsilon/\nu>70$ 이고, 이를 실무 변수로 옮기면 $Re(\varepsilon/D)\sqrt f>200$ 이다. 조도 돌기가 점성저층보다 완전히 커져 벽면 저항이 순수한 형상항력이 되는 상태다.

역사적으로 짚어 둘 것 하나. 니쿠라드세(1933)가 균일한 모래알을 관에 붙여 잰 실험에서는 매끈한 영역에서 거친 영역으로 넘어갈 때 $f$ 가 일단 내려갔다가 다시 올라가는 골이 나타났다. 콜브룩 식은 이 골을 재현하지 않는다 — 상용관의 조도가 균일하지 않고 크기 분포를 갖기 때문에 실제 상용관 데이터는 단조롭게 넘어가고, 콜브룩은 그쪽에 맞춘 것이다. 그래서 콜브룩 식으로 인공 균일 조도 실험을 예측하면 틀린다. 등가 모래알 조도 $\varepsilon$ 이 “물리적으로 잰 돌기 높이”가 아니라 “콜브룩 식에 넣었을 때 실측 $f$ 가 나오는 값”으로 정의되는 것도 이 때문이다.

관 재질	등가 조도 ε (mm)
인발관(구리, 유리)	0.0015
상용 강관, 연철	0.045
아연도금 강관	0.15
주철관	0.26
콘크리트관	0.3 ~ 3.0
리벳 강관	0.9 ~ 9.0

4. 콜브룩을 푸는 법[편집]

핵심은 미지수를 $f$ 가 아니라 $x=1/\sqrt f$ 로 잡는 것이다. $A=\varepsilon/(3.7D)$, $B=2.51/Re$ 로 두면 콜브룩 식은

$$x=-2\log_{10}\left(A+Bx\right)\equiv g(x)$$

라는, 놀랄 만큼 얌전한 스칼라 방정식이 된다.

고정점 반복. 그대로 $x_{k+1}=g(x_k)$ 를 돌린다. 수축률을 따져 보면 이 방법이 왜 항상 되는지 보인다.

$$\lvert g'(x)\rvert=\frac{2B}{(A+Bx)\ln 10}\le\frac{2B}{Bx\,\ln10}=\frac{2}{x\ln10}\approx\frac{0.87}{x}$$

즉 조도가 있을수록 더 빨리 수렴하고, 최악의 경우가 매끈한 관이다. 실용 범위에서 $x=1/\sqrt f$ 는 대략 3.5($f=0.08$)에서 11($f=0.008$) 사이이므로 수축률은 최악 0.25, 보통 0.1 근처다. 반복 한 번에 약 한 자리씩 얻으므로 배정밀도까지 1520회, 공학 정밀도(6자리)까지는 67회면 끝난다. 초기값은 아무거나 양수면 된다.

뉴턴-랩슨법. $F(x)=x+2\log_{10}(A+Bx)$ 의 근을 찾는다.

$$F'(x)=1+\frac{2B}{(A+Bx)\ln10}\in[1,\;1.25]$$

도함수가 1과 1.25 사이에 갇혀 있다. 즉 $F$ 는 사실상 기울기 1인 직선이고, 뉴턴 스텝 $\lvert\Delta x\rvert=\lvert F\rvert/F'\le\lvert F\rvert$ 로 항상 유계다. 폭주할 수가 없고, $x_0=6$ 같은 상수에서 출발해도 2~3회면 배정밀도에 닿는다. 콜브룩 식이 “음함수라서 어렵다”는 평판을 얻은 것은 계산자와 도표의 시대 유산이지, 지금 기준으로는 스칼라 방정식 중에서도 가장 순한 축에 속한다.

닫힌 해. 램버트 W 함수를 허용하면 정확해가 있다.

$$\frac{1}{\sqrt f}=\frac{2}{\ln10}\,W\!\left(\frac{\ln10}{2B}\,e^{A\ln10/(2B)}\right)-\frac{A}{B}$$

이론적으로는 만족스럽지만 실무에서는 못 쓴다. $Re=10^6$, $\varepsilon/D=10^{-3}$ 만 넣어도 지수부가 120을 넘어 인수가 $10^{50}$ 규모가 되고, 조금만 더 가면 배정밀도 부동소수점이 오버플로한다. 로그 좌표에서 W를 계산하는 변형을 써야 하는데, 그러면 어차피 내부적으로 뉴턴 반복이다. 우아함의 문제다.

명시적 근사식. 뉴턴이 3회면 끝나는데도 명시적 식이 널리 쓰이는 이유는, 수만 개 관을 가진 배관망을 반복적으로 푸는 코드에서 분기 없는 한 줄 평가가 유리하기 때문이다.

근사식	형태	최대 상대오차
스와미-제인 (1976)	f = 0.25 / [log(ε/3.7D + 5.74/Re0.9)]²	약 1%
하랜드 (1983)	1/√f = −1.8 log[(ε/3.7D)1.11 + 6.9/Re]	약 1.5%
서지데스 (1984)	3단 대입 + 스테펜센 가속	약 0.003%
자이그랑-실베스터 (1982)	3단 대입	약 0.1%

여기서 반드시 짚어야 할 것 — 이 오차는 콜브룩 식 대비 오차이지 실제 마찰 대비 오차가 아니다. 콜브룩 식 자체가 실측 데이터에 대해 ±10~15%의 산포를 갖고, $\varepsilon$ 값의 불확실성은 그보다 크다. 서지데스의 0.003%는 스와미-제인의 1%보다 “정확”하지만, 그 차이는 입력 불확실성 안에서 완전히 소멸한다. 명시적 식을 고르는 기준은 정확도가 아니라 적용 범위여야 한다. 스와미-제인은 $10^{-6}\le\varepsilon/D\le10^{-2}$, $5\times10^3\le Re\le10^8$ 밖에서는 보장이 없다.

5. 세 가지 유형 문제[편집]

배관 설계에서 나오는 문제는 세 종류뿐이고, 난이도가 극적으로 다르다.

유형 1 — $Q$, $D$ 를 알고 $h_f$ 를 구한다. $Re$ 가 바로 나오므로 콜브룩을 한 번 풀고 대입하면 끝. 위 뉴턴 3회짜리다.

유형 2 — $h_f$, $D$ 를 알고 $Q$ 를 구한다. $V$ 를 모르니 $Re$ 도 모르고, $f$ 와 $V$ 가 서로 물려 있어 보인다. 그런데 이 문제는 반복이 아예 필요 없다. 달시-바이스바흐를 $V$ 에 대해 풀면 $V\sqrt f=\sqrt{2gDh_f/L}$ 이고, 따라서

$$Re\sqrt f=\frac{VD}{\nu}\sqrt f=\frac{D^{3/2}}{\nu}\sqrt{\frac{2g\,h_f}{L}}$$

가 미지수 없이 계산된다. 콜브룩 식의 우변에 등장하는 것이 정확히 $Re\sqrt f$ 이므로, 우변이 통째로 기지량이 되어 $1/\sqrt f$ 가 로그 한 번으로 나온다.

$$\frac{1}{\sqrt f}=-2\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon/D}{3.7}+\frac{2.51}{Re\sqrt f}\right) \quad\Longrightarrow\quad V=\frac{1}{\sqrt f}\sqrt{\frac{2g\,D\,h_f}{L}}$$

콜브룩 식이 $Re\sqrt f$ 라는 조합으로 쓰여 있는 것이 우연이 아니라는 뜻이다. 수두손실이 주어진 중력 급수관, 사이펀, 소화전 방류시험 계산이 전부 이 유형이며 손계산으로도 정확해가 나온다.

유형 3 — $Q$, $h_f$ 를 알고 $D$ 를 구한다. 진짜 어려운 쪽이다. $D$ 가 $Re$, $\varepsilon/D$, 그리고 $h_f$ 식의 $D^5$ 에 동시에 들어가 어떤 조합으로도 분리되지 않는다. 표준 절차는 $f=0.02$ 정도로 찍고 $D$ 를 구한 뒤 $Re$ 를 계산해 $f$ 를 갱신하는 반복이며, 보통 2~3회면 붙는다. 스와미-제인은 이 유형에 대한 명시적 근사식도 냈는데, 지수가 4.75와 9.4와 0.04 같은 값으로 채워진 흉물스러운 한 줄이다. 어차피 관은 규격 지름으로만 나오므로 실무에서는 근사값을 구한 뒤 위쪽 규격으로 올리는 것으로 끝난다.

6. 층류-난류 전이라는 구멍[편집]

$Re<2300$ 은 $64/Re$, $Re>4000$ 은 콜브룩인데 그 사이는 아무도 모른다. 무디 선도에서 이 구간이 점선으로 그려져 있거나 “임계 영역(critical zone)“이라고 적힌 채 비어 있는 이유다. 물리적으로도 이 영역의 $f$ 는 입구 교란·진동·상류 이력에 의존해 재현되지 않는다.

문제는 코드가 그 구간을 지나가야 한다는 것이다. $Re=2300$ 에서 $64/Re=0.0278$, $Re=4000$ 에서 콜브룩이 대략 0.04이므로 불연속 점프가 있고, 이걸 그대로 두면 배관망 반복이 그 근처에서 진동한다. 관유량이 작은 야간 수요 시나리오에서 실제로 발생한다. EPANET을 비롯한 배관망 코드는 이 구간에서 $f$ 를 3차 다항식으로 보간해 $f$ 와 $\mathrm{d}f/\mathrm{d}Re$ 를 연속으로 만든다. 물리가 아니라 야코비안을 위한 처리다 — 그리고 이것이 정직한 선택이다. 아무도 모르는 구간에 매끄러운 가짜를 깔아 두고 그렇다고 문서에 적어 두는 편이, 솔버가 조용히 발산하는 것보다 낫다.²

7. 왜 달시-바이스바흐가 옳은가[편집]

같은 마찰손실을 계산하는 경쟁자가 셋 있다.

헤이즌-윌리엄스(1905년경). 북미 상수도 설계의 국룰이다. SI에서

$$h_f=\frac{10.67\,L\,Q^{1.852}}{C_{HW}^{1.852}\,D^{4.87}}$$

$C_{HW}$ 는 새 주철 130, PVC 150, 노후 주철 80~100 정도.³ 매력은 명시적이고 반복이 없다는 것. 결함은 명확하다.

• 차원 비동차다. 계수 10.67은 SI 전용이고 단위가 바뀌면 상수가 바뀐다.
• 점성이 없다. 유체 종류도 온도도 안 들어간다. 상온의 물 전용이며, 15°C와 5°C 물의 차이를 표현할 수 없다.
• 암묵적으로 특정 $Re$ 의존성을 박아 놓았다. $h_f\propto V^{1.852}$ 는 $f\propto Re^{-0.148}$ 과 같은 말이다. 매끈한 난류의 블라시우스 식은 $f\propto Re^{-0.25}$, 완전거친난류는 $Re^{0}$ 이므로, 헤이즌-윌리엄스는 그 사이 어딘가에 고정되어 있다. 즉 특정 조도·특정 유속대에서만 맞고, 그 밖에서는 계통적으로 틀린다. 지름 100 mm 미만이나 $V>3\,\mathrm{m/s}$ 에서 어긋나는 것이 이 때문이다.

매닝($f=8gn^2/R^{1/3}$ 과 동치)은 완전거친난류만, 셰지 공식($f=8g/C^2$)은 $f=$ 상수만 가정한다. 정리하면 이렇다.

	층류	매끈한 난류	전이	완전난류	유체 일반화
달시-바이스바흐 + 콜브룩	○	○	○	○	○
헤이즌-윌리엄스	×	부분	부분	×	× (물 전용)
매닝	×	×	×	○	×
셰지 (상수 C)	×	×	×	○	×

나머지 셋은 전부 달시-바이스바흐의 특수한 근사라는 것이 요점이다. $f$ 를 무엇으로 모형화하느냐만 다를 뿐 골격은 같다. 그럼에도 헤이즌-윌리엄스와 매닝이 살아남은 것은 (가) 명시적이라 손계산이 되고, (나) 백 년치 설계기준과 관로 대장이 그 계수로 기록되어 있으며, (다) 물만 흐르는 상온 상수도에서는 실제로 충분하기 때문이다. 반대로 원유 파이프라인, 액체수소 배관, 고온 급수, 비뉴턴 슬러리처럼 유체가 물이 아닌 순간 선택지는 달시-바이스바흐 하나뿐이다.

8. 실무에서 붙는 것들[편집]

• 미소손실. 밸브·엘보·급확대는 $h_m=K\frac{V^2}{2g}$ 로 처리하고, 등가길이로 환산하면 $L_e/D=K/f$ 다. 짧고 부속이 많은 배관에서는 미소손실이 관마찰보다 크다. 이름이 “미소”인 것에 속으면 안 된다.
• 비원형 단면. 수력지름 $D_h=4A/P$ 로 대체한다. 난류에서는 몇 % 이내로 잘 맞지만 층류에서는 못 쓴다 — $f\cdot Re$ 가 원관 64, 정사각 덕트 약 57, 평행평판 96으로 단면 형상마다 다르기 때문이다.
• 배관망. 관망 해석은 각 관의 $h_f(Q)$ 를 절점 질량보존과 함께 푸는 비선형계다. 하디-크로스 법으로 시작했지만, 지금은 전역 뉴턴(EPANET의 global gradient algorithm)이 표준이다. 야코비안에 $\mathrm{d}h_f/\mathrm{d}Q$ 가 들어가는데, $f$ 가 $Q$ 에 의존하므로 이 도함수를 대충 상수 $f$ 로 얼려도 수렴은 대개 된다 — $f$ 의 $Q$ 의존성이 워낙 약하기 때문이다.
• 과도현상. 밸브 급폐쇄 같은 비정상 문제에서는 정상류 마찰계수를 그대로 쓰면 압력파 감쇠가 실측보다 훨씬 느리게 나온다. 수충격 해석에 비정상 마찰 모형이 따로 필요한 이유다.

9. 관련 문서[편집]

• 관유동 · 유체역학 · 베르누이 방정식
• 무디 선도 · 헤이즌-윌리엄스 공식
• 셰지 공식 · 매닝 공식 · 개수로 유동
• 뉴턴-랩슨법 · 램버트 W 함수 · EPANET
• 레이놀즈수 · 층류 · 난류 · 경계층 · 벽함수
• 수충격 · 다르시 법칙 · 검증 및 확인

10. Footnotes[편집]

1. 이름도 사연이 있다. 식의 형태를 정리해 교과서에 실은 것은 1845년 율리우스 바이스바흐이고, 마찰계수가 조도에 의존한다는 것을 대규모 관로 실험으로 밝힌 것은 1857년 앙리 다르시다. 두 이름이 붙은 것은 20세기 들어 헌터 라우스 등이 정리하면서다. 그리고 이 다르시는 다르시 법칙의 그 다르시와 동일인이다. 한 사람이 다공성 매질과 관로 마찰을 동시에 창시했는데, 국내 표기는 전자를 “다르시”, 후자를 “달시”로 갈라놓았다. ↩

2. 이 구간에서 벌어지는 더 재미있는 일도 있다. 전이 영역의 $f$ 곡선은 기울기가 가팔라서, 유량을 조금 늘렸더니 마찰손실이 급증해 오히려 유량이 줄어드는 되먹임이 생길 수 있다. 배관망 뉴턴 반복이 두 값 사이를 왕복하며 안 붙는 전형적 증상이며, 완화계수를 0.5로 낮추면 대개 해결된다. 물론 사용자 매뉴얼에는 “수렴하지 않으면 완화계수를 조정하십시오”라고만 적혀 있다. ↩

3. 노후관의 $C_{HW}$ 가 130에서 80으로 떨어지는 것은 스케일 퇴적과 부식으로 실제 조도가 커지고 유효 내경이 줄어든 결과인데, 두 효과가 계수 하나에 함께 뭉쳐 들어간다. 그래서 상수도 사업소는 주기적으로 소화전 방류시험을 해서 $C$ 를 역산해 관망 모델에 다시 넣는다. 물리 상수가 아니라 관의 나이를 흡수하는 손잡이로 쓰는 셈인데, 이 용도로는 의외로 잘 작동한다. 달시-바이스바흐로 같은 일을 하려면 $\varepsilon$ 과 내경을 따로 보정해야 해서 오히려 미정 계수가 늘어난다. ↩