보드 선도

1. 개요[편집]

보드 선도 Bode Plot
정리	Hendrik W. Bode, 1930~40년대 (Bell Labs)
그리는 것	개루프 $L(j\omega)$의 크기와 위상
가로축	$\log \omega$ (데케이드)
세로축	크기 dB, 위상 도(°)
읽어내는 값	이득교차·위상교차 주파수, 이득·위상 여유
전제	이득-위상 관계는 최소위상계에서만 성립

곱셈을 덧셈으로 바꾸려고 로그를 쓴 것뿐이다. 그런데 그 하나로 제어 설계가 자 대고 그리는 일이 됐다.

보드 선도(Bode plot)는 개루프 전달함수 $L(s)$의 주파수 응답을 $s = j\omega$로 놓고, 크기 $20\log_{10}|L(j\omega)|$ (dB)와 위상 $\angle L(j\omega)$ (도)를 $\log \omega$ 축 위에 두 장으로 나눠 그린 선도다. 벨 연구소의 헨드릭 보드가 1930~40년대에 되먹임 증폭기 설계 도구로 정리했고, 1945년 저서 Network Analysis and Feedback Amplifier Design으로 굳어졌다.¹

로그를 두 번 쓴 것이 이 도구의 전부이자 전부의 이유다. 전달함수는 인자들의 곱인데 크기에 로그를 씌우면 합이 되고, 위상은 원래부터 합이다. 그래서 극점·영점을 하나씩 그려 겹쳐 더하면 전체 선도가 나온다. 게다가 각 인자의 크기 곡선은 로그-로그 축에서 직선 두 개의 꺾인 선으로 잘 근사되므로, 컴퓨터 없이 자와 연필만으로도 쓸 만한 그림이 나온다. 계산기가 흔해진 지금도 손으로 점근선을 긋는 훈련이 남아 있는 이유는, 그 그림이 “어느 극점을 어디로 옮겨야 하는가”를 바로 보여주기 때문이다.

같은 정보를 복소평면 위 한 장의 궤적으로 그리면 나이퀴스트 안정성 판별법이 된다. 나이퀴스트가 “안정한가 아닌가”를 감김 수로 엄밀하게 판정한다면, 보드 선도는 주파수마다 무슨 일이 일어나는지를 분해해서 보여주는 쪽에 강하다. 설계는 보드로 하고 판정은 나이퀴스트로 하는 분업이 흔하다.

2. 왜 dB와 데케이드인가[편집]

크기 축의 단위 dB는 $20\log_{10}|\cdot|$ 이다. 20이 붙은 것은 전력이 아니라 진폭비를 재기 때문이고, 그래서 2배 $\approx$ 6.02 dB, 10배 $=$ 20 dB, $\sqrt{2}$ 배 $\approx$ 3.01 dB가 된다. 가로축의 데케이드(decade)는 주파수 10배, 옥타브(octave)는 2배다.

이 조합에서 기울기 단위가 정해진다. $|s^{n}| = \omega^n$ 이므로

$$20\log_{10}\omega^{n} = 20n \log_{10}\omega$$

즉 $\omega$가 10배 될 때 크기는 $20n$ dB 변한다. 극점 하나당 $-20$ dB/dec, 영점 하나당 $+20$ dB/dec라는 국룰이 여기서 나온다. 옥타브로 환산하면 $\pm 6$ dB/oct다.

3. 점근선 작도법[편집]

$L(s)$를 시상수형(time-constant form)으로 정리한다. 즉 각 인자를 $1 + s/p$ 꼴로 만들어 저주파에서 1이 되게 맞춘다.

$$L(s) = \frac{K \prod_i (1 + s/z_i)}{s^{N} \prod_j (1 + s/p_j)}$$

이렇게 두면 저주파 점근선이 $|K|/\omega^N$ 로 딱 떨어져서 출발점이 자동으로 정해진다. $N$은 시스템 타입이며, 타입 1이면 계단 입력에 정상상태 오차가 0이 되는 그 적분기 개수다.

각 인자의 기여는 다음과 같다. 여기서 “꺾임 주파수”(corner/break frequency)는 인자가 1에서 벗어나기 시작하는 $\omega = |p|$ 또는 $|z|$ 다.

인자	크기 점근선	위상 기여
상수 $K > 0$	$20\log_{10}K$ dB 수평	$0^\circ$
상수 $K < 0$	같음	$-180^\circ$
$s^{-N}$ (적분기)	전 대역 $-20N$ dB/dec	$-90N^\circ$ 상수
$s^{N}$ (미분기)	전 대역 $+20N$ dB/dec	$+90N^\circ$ 상수
$1/(1+s/p)$	$\omega < p$ 는 0, 이후 $-20$ dB/dec	$0^\circ \to -90^\circ$, $\omega = p$ 에서 $-45^\circ$
$1 + s/z$	$\omega < z$ 는 0, 이후 $+20$ dB/dec	$0^\circ \to +90^\circ$, $\omega = z$ 에서 $+45^\circ$
2차 극점쌍	$\omega < \omega_n$ 은 0, 이후 $-40$ dB/dec	$0^\circ \to -180^\circ$, $\omega_n$ 에서 $-90^\circ$
$1 - s/z$ (우반평면 영점)	$+20$ dB/dec (LHP 영점과 동일)	$0^\circ \to \mathbf{-90^\circ}$
$e^{-sT}$ (시간지연)	0 dB, 전 대역 평평	$-\omega T$ 라디안, 무한히

위상은 크기보다 훨씬 넓게 퍼진다. 관례적으로 꺾임 주파수의 1데케이드 아래에서 시작해 1데케이드 위에서 끝나는 $\pm 45^\circ$/dec 직선으로 근사한다. 그래서 위상 점근선은 크기 점근선보다 잘 틀리고, 정작 안정도를 결정하는 것은 위상이다. 손으로 그린 위상은 반드시 교차 주파수 근방에서만 정확히 다시 계산하는 게 안전하다.

점근선의 오차는 정량적으로 알려져 있다. 1차 인자의 경우 꺾임 주파수에서 정확히 $3.01$ dB, 한 옥타브 떨어진 곳에서 약 $1$ dB, 한 데케이드 떨어지면 $0.04$ dB로 사실상 0이다. 그래서 실무 작도는 점근선을 긋고 꺾임점만 3 dB 깎는 것으로 끝난다. 2차 극점쌍은 얘기가 다르다. 감쇠비 $\zeta < 1/\sqrt{2} \approx 0.707$ 이면 $\omega_r = \omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}$ 에서 첨두가 서고 그 높이가 $1/(2\zeta\sqrt{1-\zeta^2})$ 이므로, $\zeta = 0.05$ 짜리 구조 모드 하나가 점근선보다 20 dB 위로 솟는다. 모드 해석에서 넘어온 저감쇠 모드를 점근선으로 뭉개면 그 자리에서 설계가 틀어진다.

4. 한 번 읽어 보기[편집]

$$L(s) = \frac{100}{s(s+10)} = \frac{10}{s\,(1 + s/10)}$$

시스템 타입 1, 저주파 점근선은 $10/\omega$ 이므로 $\omega = 1$에서 20 dB, $-20$ dB/dec로 내려온다. $\omega = 10$에서 꺾여 $-40$ dB/dec가 된다. 이득교차는 저주파 점근선만 보면 $\omega = 10$인데, 꺾임점과 겹쳐 있으니 실제로는 조금 왼쪽이다. 정확히 풀면

$$\frac{10}{\omega\sqrt{1 + \omega^2/100}} = 1 \;\Longrightarrow\; \omega_{gc} \approx 7.86\ \text{rad/s}$$

이 주파수에서 위상은 $-90^\circ - \arctan(0.786) = -128.2^\circ$ 이므로 위상 여유는 $51.8^\circ$. 위상이 $-180^\circ$에 닿지 않으므로 이득 여유는 무한대다 — 이런 계에서 GM만 보고 “무한대니까 안전”이라고 결론 내리는 것이 전형적인 오독이며, 실제로 위험을 재는 건 PM 쪽이다. 여유의 정의·한계·감도 첨두와의 관계는 위상 여유에서 따로 다룬다.

5. 이득-위상 관계 — 이 문서의 진짜 주제[편집]

보드 선도가 설계 도구가 되는 근거는 크기 곡선과 위상 곡선이 독립이 아니라는 사실이다. 보드의 이득-위상 정리에 따르면, 최소위상 전달함수의 위상은 크기 곡선의 기울기로 완전히 결정된다.

$$\angle L(j\omega_0) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d\ln|L|}{du}\,\ln\coth\frac{|u|}{2}\;du, \qquad u = \ln\frac{\omega}{\omega_0}$$

(결과는 라디안.) 가중함수 $\ln\coth(|u|/2)$ 는 $u = 0$ 에서 로그 발산하고 양쪽으로 급격히 죽는다. 즉 $\omega_0$ 근처의 기울기가 위상을 거의 다 결정한다. 기울기가 넓은 대역에서 $-20n$ dB/dec로 일정하면 적분이 정확히 $-90n^\circ$ 를 준다. 이것이 그 유명한

기울기 $-20$ dB/dec $\leftrightarrow$ 위상 $-90^\circ$

대응이고, 여기서 루프 성형의 국룰이 곧바로 떨어진다. 이득교차 근방에서는 기울기를 $-20$ dB/dec로 만들어라. $-40$ dB/dec로 교차하면 위상이 $-180^\circ$에 붙어 위상 여유가 소멸하기 때문이다. 진상 보상기(진상 보상기, lead compensator)는 결국 교차 근방에 영점을 하나 심어 기울기를 $-40$에서 $-20$으로 펴는 장치이며, 적분기를 넣어 저주파 이득을 올리되 교차 근방까지 $-40$을 끌고 오지 않게 만드는 것이 PI 설계의 요점이다. PID 제어의 미분항 필터 상수 $N$ 도 이 그림에서는 ”$+20$ dB/dec 구간을 어디서 다시 평평하게 자를 것인가”로 읽힌다.

그리고 이 정리에는 최소위상이라는 전제가 붙어 있다. 우반평면 영점이나 시간지연이 끼면 크기가 같아도 위상이 더 뒤처지고, 그러면 크기 곡선만 보고 위상을 추정하는 모든 논리가 무너진다. 그 세계가 비최소위상계이고, 거기서는 크기-위상 관계 대신 감김 수를 세는 나이퀴스트가 유일하게 옳은 판정이 된다. 크기와 위상은 힐베르트 변환 쌍을 이루는데, 이 쌍 관계 자체가 최소위상 가정에서만 성립한다고 말해도 같은 얘기다.

6. 대역폭과 시간응답 — 경험식은 경험식일 뿐[편집]

주파수 영역에서 설계하고 시간 영역에서 검수받는 것이 제어 엔지니어의 팔자라, 둘을 잇는 어림식이 여럿 있다.

• 폐루프 대역폭은 대체로 이득교차 주파수의 1~2배 안에 들어온다. $\omega_{gc} \lesssim \omega_B \lesssim 2\omega_{gc}$.
• 지배 극점이 2차로 근사되는 계에서 10~90% 상승시간과의 곱은 $\omega_{gc}\, t_r \approx 1.3\text{–}1.5$, 대역폭 기준으로는 $\omega_B\, t_r \approx 2$ 정도다.
• 위상 여유와 감쇠비는 $\zeta \lesssim 0.7$ 구간에서 $\mathrm{PM} \approx 100\zeta$(도 단위) 로 거의 선형이다.

세 줄 모두 2차 지배 극점 근사가 성립할 때만 쓸 수 있는 어림이다. 폐루프 영점이 끼거나 지배 극점이 셋 이상이거나 우반평면 영점이 있으면 오차가 배수로 벌어진다. 특히 상승시간 곱은 교재마다 1.3에서 2.2까지 다른 숫자가 돌아다니는데, 이는 상승시간의 정의(0100%인지 1090%인지)와 기준 감쇠비가 서로 달라서다. 사양서에 옮겨 적을 숫자가 아니라, 스펙을 보고 대역폭을 몇 rad/s로 잡을지 감을 잡는 용도로만 쓴다.²

7. 시간지연이라는 공짜 없는 손님[편집]

순수 시간지연 $e^{-sT}$ 는 크기가 정확히 1이라 dB 선도에 아무 자국도 남기지 않는다. 대신 위상만 $-\omega T$ 로 선형 축에서 무한히 깎아 내린다. 로그 가로축에서 보면 오른쪽으로 갈수록 급전직하하는 곡선이고, 유한한 극점 몇 개로는 절대 흉내 낼 수 없는 모양이다.

결과는 잔인하다. 이득교차 주파수에서 잃는 위상이 $\omega_{gc} T$ 라디안이므로, 버틸 수 있는 지연은

$$T_{\max} = \frac{\mathrm{PM}\,[\mathrm{rad}]}{\omega_{gc}}$$

이다. 앞의 예제($\mathrm{PM} = 51.8^\circ = 0.904$ rad, $\omega_{gc} = 7.86$)라면 115 ms. 그런데 성능을 올리려고 $\omega_{gc}$를 두 배로 밀면 허용 지연은 절반이 된다. 대역폭과 지연 내성은 정확히 반비례이며, 이것이 디지털 구현에서 샘플 주기의 하한을 잡는다. 영차 홀드는 평균 $T_s/2$ 의 지연으로 근사되고, 여기에 연산 지연·통신 지연이 더해진다. 실시간 루프가 진동하는 원인의 태반이 플랜트가 아니라 스케줄러라는 말은 과장이 아니다.³

8. 수치적으로 그리기[편집]

교과서에서는 손으로 긋지만 실제로는 전부 수치 계산이다. 상태공간 $(A, B, C, D)$ 에서

$$G(j\omega) = C\,(j\omega I - A)^{-1}B + D$$

를 주파수마다 그대로 풀면 매번 $O(n^3)$ 이라 스윕 1000점에 $n = 500$ 이면 답이 없다. 표준 처방은 $A$ 를 상 헤센베르크 형태로 한 번만 변환해 두고($O(n^3)$, 직교 상사변환이라 안정적), 각 주파수에서는 헤센베르크 선형계를 $O(n^2)$ 에 푸는 것이다. 이렇게 하면 스윕 전체가 사실상 한 번의 분해값이 된다.⁴ 이 알고리즘이 상용 제어 툴박스의 주파수 응답 계산 기본값이며, 조건이 나쁜 계에서는 조건수를 함께 보는 것이 정석이다.

실무에서 신경 쓸 것 몇 가지.

• 격자는 로그 등간격으로 잡는다. 선형 등간격으로 잡으면 저주파가 통째로 비고, 저주파는 정상상태 오차가 사는 동네다.
• 위상 언래핑(unwrapping)이 필요하다. atan2 는 $(-180^\circ, 180^\circ]$ 로만 돌려주므로, 격자가 성글면 $360^\circ$ 점프를 실제 위상 변화로 착각한다. 저감쇠 공진 근처에서 위상이 한 점 사이에 $180^\circ$ 넘게 움직이면 언래핑이 조용히 틀린다.
• 측정 데이터에서 그린 선도는 크기와 위상이 독립적으로 얻어진다. 그래서 둘이 이득-위상 관계와 안 맞으면 그건 잡음이 아니라 비최소위상 성분이나 미측정 지연이 있다는 신호다. 시스템 식별에서 지연과 우반평면 영점을 구분해 내는 표준 단서가 이것이다.
• 이산시간계는 $z = e^{j\omega T_s}$ 로 단위원 위를 훑고, 나이퀴스트 주파수 $\pi/T_s$ 에서 멈춘다. 그 위는 앨리어싱된 유령이다. 디지털 필터 설계에서 쓰는 그림과 같은 물건이다.

구조·유체 쪽에서 익숙한 주파수 응답 해석의 FRF 선도도 축과 단위만 다를 뿐 같은 그림이다. 다만 저쪽은 공진 첨두의 높이(즉 감쇠)가 관심사이고, 이쪽은 0 dB 선을 어디서 어떤 기울기로 끊느냐가 관심사다. 항공서보탄성학처럼 구조 모드가 제어 루프 안에 들어오는 분야에서는 두 관심사가 한 장의 선도에서 만나고, 저감쇠 모드 하나가 0 dB 위로 솟는 순간 플러터와 서보 진동을 동시에 걱정하게 된다.

9. 관련 문서[편집]

• 위상 여유 · 나이퀴스트 안정성 판별법
• 감도 함수 · 비최소위상계
• PID 제어 · 지글러-니콜스 방법 · 강건 제어
• 주파수 응답 해석 · 모드 해석 · 감쇠
• 푸리에 변환 · 디지털 필터 · 조건수
• 항공서보탄성학 · 플러터 · 모델 예측 제어

10. Footnotes[편집]

1. 이름 표기가 통일이 안 돼 있다. 본인은 네덜란드계라 “보더”에 가깝게 발음했다고 전해지는데, 한국어 문헌에는 보드·보데·보우드가 다 굴러다닌다. 심위키는 보드로 통일하되, 다른 문서에서 “보데 선도”라고 쓰인 것도 같은 물건이다. ↩

2. 이 어림식들이 위험한 진짜 이유는 틀려서가 아니라 너무 잘 맞아서다. 2차 근사가 성립하는 예제에서 수십 번 잘 맞다가, 우반평면 영점이 하나 있는 실제 플랜트에서 처음으로 크게 배신한다. 그때쯤이면 이미 사양서에 그 숫자가 박혀 있다. ↩

3. “시뮬레이션에서는 완벽했는데 실장하니 떤다”의 1순위 용의자. 모델에 지연을 안 넣었거나, 넣었는데 계산 지연·버스 지연·센서 필터 지연을 각각 따로 세지 않고 하나로 퉁쳤거나 둘 중 하나다. ↩

4. A. J. Laub, “Efficient multivariable frequency response computations” (1981). 헤센베르크 축약을 한 번 해 두고 주파수마다 재사용하는 이 트릭은 발상은 단순한데 효과는 수십 배라, 수치선형대수가 제어공학에 준 가장 조용한 선물 중 하나로 꼽을 만하다. ↩