주파수 응답 해석

시뮬레이션 구조해석 고체역학 마지막 수정: 2026-07-16 04:29:12

1. 개요[편집]

주파수 응답 해석 Frequency Response Analysis
다른 이름	조화 해석 (Harmonic Analysis)
구하는 것	조화 가진에 대한 정상상태 응답
주요 기법	모달 중첩법, 직접법
산출물	FRF, 보드 선도, 공진 피크

주파수 응답 해석(frequency response analysis), 또는 조화 해석(harmonic analysis)은 정현파로 가진되는 구조가 과도 성분이 다 사라진 뒤 도달하는 정상상태 진동을 주파수마다 구하는 해석이다. 모드 해석이 “이 구조는 어떤 주파수를 좋아하는가”를 묻는다면, 주파수 응답 해석은 “그래서 이 힘을 넣으면 실제로 얼마나 흔들리는가”를 묻는다.¹

모드 해석은 하중이 없는 고유값 문제라 진폭이 나오지 않는다. 고유진동수가 120 Hz라는 사실만으로는 그 모드가 실제로 가진되는지, 가진돼도 0.1 mm 흔들리는지 5 mm 흔들리는지 알 수 없다. 그 답을 주는 게 이 해석이고, 그래서 실무 판정 — 파손, 소음, 정밀도 — 은 거의 여기서 난다.

2. 지배 방정식과 복소수 대수[편집]

출발점은 익숙한 운동방정식이다.

\mathbf{M}\ddot{\mathbf{u}} + \mathbf{C}\dot{\mathbf{u}} + \mathbf{K}\mathbf{u} = \mathbf{F}(t)

여기서 가진이 단일 주파수 $\omega$ 의 조화 함수라고 가정한다. $\mathbf{F}(t) = \mathbf{F}_0 e^{i\omega t}$ 로 두면 정상상태 해도 같은 주파수를 가지므로 $\mathbf{u}(t) = \mathbf{u}_0 e^{i\omega t}$ . 미분이 $i\omega$ 곱셈으로 바뀌는 순간, 미분방정식이 복소 연립 대수방정식으로 붕괴한다.

\left( -\omega^2 \mathbf{M} + i\omega \mathbf{C} + \mathbf{K} \right) \mathbf{u}_0 = \mathbf{F}_0

괄호 안이 동적 강성 행렬 $\mathbf{Z}(\omega)$ 다. 시간 적분이 통째로 사라지고 주파수 하나당 복소 희소행렬 한 번 풀면 끝. 명시적 동해석으로 수십만 스텝을 갈아 넣는 것에 비하면 거저다. 대가는 선형성과 정상상태 가정 — 접촉이 열리고 닫히거나 소성이 들어가면 이 논리는 즉시 무너진다.

$\mathbf{u}_0$ 는 복소수이므로 크기 $|\mathbf{u}_0|$ 가 진폭, 편각 $\arg(\mathbf{u}_0)$ 가 가진 대비 위상 지연이다. 복소수를 쓰는 진짜 이유는 위상을 공짜로 얻기 때문이다.

2.1. 감쇠의 복소 표현[편집]

감쇠는 이 해석에서 결과를 지배한다. 표현 방식은 세 갈래다.

점성 감쇠: $\mathbf{C}$ 를 명시. 레일리 감쇠 $\mathbf{C} = \alpha\mathbf{M} + \beta\mathbf{K}$ 가 흔하다. $\alpha$ 는 저주파를, $\beta$ 는 고주파를 잡는다.
구조 감쇠(히스테리시스): 강성을 복소수로 만든다. $\mathbf{K}^* = \mathbf{K}(1 + i\eta)$ . 손실계수 $\eta$ 가 주파수와 무관해 금속·고무 재료 실측과 궁합이 좋다. 다만 이 모델은 주파수 영역에서만 정의되고 시간 영역으로 역변환하면 인과성이 깨진다.²
모달 감쇠비: 모드마다 $\zeta_i$ 를 직접 준다. 실측 FRF에서 뽑아 넣는 게 국룰.

3. 모달 중첩법 vs 직접법[편집]

3.1. 직접법 (Direct)[편집]

주파수마다 $\mathbf{Z}(\omega)$ 를 조립해 LU 분해로 정면 돌파한다. 정확하고, 주파수 의존 물성(주파수마다 달라지는 폼 재료 강성)이나 비비례 감쇠도 그대로 먹는다. 문제는 주파수 포인트 하나가 곧 복소 행렬 분해 한 번이라는 것. 0~2000 Hz를 1 Hz 간격으로 스윕하면 분해를 2000번 한다. 자유도 수백만짜리 모델이면 주말이 사라진다.

3.2. 모달 중첩법 (Modal Superposition)[편집]

먼저 모드 해석으로 관심 대역의 고유모드 $\boldsymbol{\phi}_i$ 를 뽑고, 응답을 그 선형 결합으로 전개한다. 모드 직교성 덕분에 연립 방정식이 모드별 1자유도 방정식으로 완전히 분리된다.

u(\omega) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\boldsymbol{\phi}_i^T \mathbf{F}_0}{\omega_i^2 - \omega^2 + 2i\zeta_i \omega_i \omega} \boldsymbol{\phi}_i

수백만 자유도 문제가 모드 수십~수백 개짜리 합산으로 줄어든다. 주파수 하나 추가하는 비용이 사실상 공짜라, 실무 주파수 응답의 대다수가 이쪽이다.

대가는 세 가지다. (1) 잘라낸 고차 모드의 정적 기여가 빠져서 응답을 과소평가한다 — 잔여 유연도(residual flexibility) 보정으로 메운다. (2) 감쇠가 비비례적이면 모드가 완전히 분리되지 않는다. (3) 관심 대역 최대 주파수의 1.5~2배까지 모드를 뽑아라가 경험칙. 이걸 어기면 대역 끝에서 결과가 조용히 틀린다.

4. FRF와 전달함수[편집]

가진점 $j$ 에 단위 힘을 넣고 응답점 $k$ 를 재면, 그 복소 비율이 주파수 응답 함수(FRF) $H_{kj}(\omega)$ 다. 전체를 모으면 FRF 행렬이 되고, 상반정리에 의해 $H_{kj} = H_{jk}$ — 즉 대칭이다. 때리는 곳과 재는 곳을 바꿔도 값이 같다는 뜻이고, 실험 모달 해석에서 임팩트 해머로 한 점만 때리고 여러 점을 재도 되는 이유가 이것이다.

응답의 분모를 어떻게 잡느냐에 따라 이름이 바뀐다.

이름	응답 / 힘
리셉턴스 (receptance)	변위 / 힘
모빌리티 (mobility)	속도 / 힘
이너턴스 (inertance)	가속도 / 힘

가속도계로 재는 게 제일 쉬우니 실측은 대개 이너턴스로 나오고, 해석은 리셉턴스로 나오며, 둘을 비교하려면 $i\omega$ 를 두 번 곱하거나 나눈다. 여기서 부호와 인자를 틀려서 밤을 새운 사람이 셀 수 없이 많다.

4.1. 공진 피크[편집]

$\omega \to \omega_i$ 에서 분모의 실수부가 0이 되고, 남는 건 감쇠 항 $2i\zeta_i\omega_i^2$ 뿐이다. 공진에서의 증폭 배율은 대략

Q = \frac{1}{2\zeta}

$\zeta = 0.5\%$ 면 $Q = 100$ — 정적 처짐의 100배가 나온다. 구조물이 조용히 죽는 지점이다. 그리고 공진을 지나며 위상이 180도 뒤집힌다. 이 위상 반전이 실측 FRF에서 공진을 식별하는 가장 확실한 표식이다.

주의: 공진 피크의 높이는 오로지 감쇠가 결정한다. 그런데 감쇠는 해석자가 가장 대충 넣는 입력값이다. 그래서 피크 주파수는 몇 % 안에 맞지만 피크 높이는 배수로 틀리는 게 흔하다. 감쇠는 실측 없이는 사실상 찍는 것이며, 정직한 보고서는 그 사실을 명시한다.³

5. 랜덤 진동으로의 확장[편집]

현실의 가진 — 노면, 로켓 발사, 엔진 — 은 단일 주파수가 아니라 통계적으로 기술되는 광대역 신호다. 여기서 등장하는 게 랜덤 진동 해석(random vibration), 입력을 파워 스펙트럼 밀도(PSD) $S_F(\omega)$ 로 주는 방식이다. 선형 시스템의 핵심 관계는 다음과 같다.

S_u(\omega) = |H(\omega)|^2 S_F(\omega)

즉 FRF의 크기 제곱이 입력 PSD를 응답 PSD로 변환하는 필터다. 랜덤 진동 해석은 별개의 이론이 아니라 주파수 응답 해석 위에 통계를 한 겹 얹은 것이며, 그래서 FRF가 틀리면 랜덤 진동도 같이 틀린다. 응답 PSD를 적분하면 RMS 응답 $\sigma$ 가 나오고, 가우시안 가정 하에 $3\sigma$ 값으로 설계 판정을 하거나 피로 해석으로 넘긴다.

6. 관련 문서[편집]

실무에서 모드 해석만 돌리고 “고유진동수가 작동 주파수랑 20 Hz 떨어져 있으니 괜찮습니다”로 끝내는 보고서가 꽤 많다. 감쇠가 낮으면 20 Hz는 충분히 안 떨어진 것이다. 20 Hz가 안전한지 아닌지는 FRF를 그려봐야 안다. ↩
복소 강성 모델은 주파수 영역에서만 살 수 있는 유령이다. 시간 영역으로 끌고 오면 힘이 가해지기 전에 응답이 나오는 비인과적 결과가 나온다. 그래도 다들 쓴다. 주파수 영역에서 안 나가면 되니까. ↩
감쇠비를 물어보면 대개 “1%요”라는 답이 돌아온다. 왜 1%냐고 물으면 “다들 그렇게 씁니다”라는 답이 돌아온다. 이것이 구조동역학 최대의 국룰이자 최대의 불확실성이다. ↩