부가질량

유체역학 전산유체역학 마지막 수정: 2026-08-20 04:37:09

1. 개요[편집]

부가질량 Added Mass (Virtual Mass)
정의	가속하는 물체가 함께 끌고 가는 유체의 유효 관성
원기둥(2D)	단위길이당 ρπa² (배제 유체와 같음, C_a=1)
구(3D)	배제 유체 부피의 ½배 (C_a=½)
일반 물체	6×6 부가질량 텐서 m_ij (대칭)
계산	퍼텐셜 유동 · 경계요소법(방사 문제)

물속에서 손을 휘저어 보면 안다. 밀어야 하는 건 손만이 아니라, 손이 끌고 가는 물 한 덩어리다.

부가질량(added mass) 또는 가상질량(virtual mass)은 물체가 유체 속에서 가속할 때, 주변 유체도 함께 가속시켜야 하므로 물체가 실제 질량보다 무거운 것처럼 반응하는 현상, 그리고 그 여분의 유효 관성을 가리킨다. 유체를 밀어제치며 가속하려면 유체에 운동에너지를 줘야 하고, 그 에너지를 대는 만큼 물체는 더 큰 힘을 요구한다. 이 여분의 관성을 질량 단위로 환산한 것이 부가질량이다.

핵심은 이것이 가속에만 걸리는 힘이라는 점이다. 등속으로 움직이면 포텐셜 유동의 달랑베르 역설대로 (비점성 이상) 항력이 0이지만, 가속하는 순간 부가질량 힘이 나타난다. 즉 부가질량은 달랑베르 역설이 지워버린 그 힘이 아니라, 정상 유동에서는 보이지 않다가 비정상(unsteady) 유동에서만 살아나는 관성력이다. 그래서 에너지를 소산시키지 않고(점성과 무관), 가속도와 위상이 맞는 순수 반작용력이다.¹

2. 어디서 나오는가 — 운동에너지[편집]

부가질량은 유체의 운동에너지에서 곧장 떨어진다. 물체가 속도 $U$ 로 움직일 때 주변 포텐셜 유동이 갖는 총 운동에너지는 물체 표면 형상에 의해 결정되며, 언제나

T_{\text{fluid}} = \tfrac{1}{2}\, m_a\, U^2

꼴로 쓸 수 있다. 이 비례상수 $m_a$ 가 부가질량이다. 유체 에너지가 $U^2$ 에 비례한다는 사실 자체가 $m_a$ 를 속도와 무관한 순수 기하량으로 만든다. 물체를 가속하는 데 드는 힘은 에너지 정리로

F = (m + m_a)\,\dot U

가 되어, 유효 관성이 $m + m_a$ 로 불어난다.

**구(3D)**의 경우, 병진운동하는 구가 만드는 흐름은 더블릿 퍼텐셜 $\phi = -\tfrac{1}{2}U a^3 \cos\theta / r^2$ 이고, 이걸 물체 밖 전체에서 적분한 유체 운동에너지가 $T_{\text{fluid}} = \tfrac{1}{3}\pi \rho a^3 U^2$ 이 나온다. 따라서

m_a^{\text{sphere}} = \tfrac{2}{3}\pi \rho a^3 = \tfrac{1}{2}\underbrace{\left(\tfrac{4}{3}\pi a^3 \rho\right)}_{\text{배제 유체 질량}}

즉 구의 부가질량은 밀어낸 유체 질량의 딱 절반, 계수 $C_a = \tfrac12$ 다. **원기둥(2D)**은 더블릿 $\phi = -U a^2 \cos\theta / r$ 로 계산하면 단위 길이당

m_a^{\text{cyl}} = \rho \pi a^2

로, 이번엔 배제한 유체 질량과 똑같다( $C_a = 1$ ). 2차원과 3차원에서 계수가 다른 것은 유동이 물체를 돌아 흘러가는 방식이 차원에 따라 다르기 때문이다.

3. 부가질량 텐서[편집]

물체가 방향에 따라 다르게 생겼으면 부가질량도 방향에 따라 다르다. 일반적으로 6자유도(병진 3 + 회전 3) 운동에 대해, 부가질량은 6×6 대칭 행렬

T_{\text{fluid}} = \tfrac{1}{2}\sum_{i,j} m_{ij}\, U_i U_j, \qquad m_{ij} = m_{ji}

인 부가질량 텐서(added-mass tensor)로 일반화된다. 대칭성은 유체 운동에너지가 이차형식이라는 데서 곧장 따라온다 — 이 텐서는 운동에너지를 속도로 두 번 미분한 헤세 행렬 그 자체이므로 대칭이다. 성분 $m_{ij}$ 는 $j$ 방향 운동이 만드는 유동이 $i$ 방향에 실어주는 관성 결합을 뜻한다. 대각 성분은 각 방향의 부가질량, 비대각 성분은 병진-회전 연성이다.

이 텐서 때문에 벌어지는 반직관적 현상이 문크 모멘트(Munk moment)다. 길쭉한 물체를 유동에 비스듬히 놓으면 부가질량 텐서의 방향 이방성 탓에 물체를 옆으로 돌리려는 불안정 모멘트가 생긴다. 비행선·잠수함·어뢰가 별도의 안정판 없이는 자세를 유지하지 못하는 이유의 뿌리가 이 모멘트이고, 럭비공이 물속에서 얌전히 안 가는 것도 같은 텐서 탓이다.

4. 계산 — 퍼텐셜 유동과 경계요소법[편집]

부가질량은 형상만 알면 결정되는 라플라스 방정식의 경계값 문제라, 해석적으로 풀리는 형상(구·원기둥·타원체·평판)은 표로 정리돼 있다. 임의 형상은 수치해석의 몫인데, 여기서 경계요소법(BEM)이 빛난다.

물체가 단위 가속도로 움직일 때 유체가 반작용으로 내는 압력을 구하는 문제를 방사 문제(radiation problem)라 부른다. 영역 전체가 아니라 물체 표면만 패널로 이산화하면 되고(포텐셜 유동이 표면 소스·더블릿 분포로 환원되는 그 성질), 표면 위 속도퍼텐셜을 적분해 부가질량 텐서를 직접 얻는다. 3차원 임의 형상의 6×6 텐서를 격자 부담 없이 뽑을 수 있어, 선박·해양구조물 동역학의 표준 도구다. 자유표면이 있으면 부가질량이 진동수에 의존하게 되어(주파수영역 방사 문제), 감쇠를 나타내는 **방사 감쇠(radiation damping)**와 짝을 이뤄 나온다.²

5. 어디서 중요한가[편집]

부가질량이 무시 못 할 크기가 되는 건 유체 밀도가 물체 밀도에 견줄 만할 때다. 공기 중(밀도비 ~1/800)에서는 대개 무시하지만, 물속에서는 지배적이 된다.

진동체의 고유진동수: 유체 속에서 진동하는 구조는 유효 질량이 $m+m_a$ 로 커져 고유진동수가 낮아진다. 공기 중에서 잰 모드를 물속 값으로 잘못 쓰면 모드 해석이 통째로 어긋난다. 유체-구조 연성 진동의 첫 계산이 바로 부가질량 보정이다 — 유체-구조 연성의 관성 항.
슬로싱과 탱크: 자유표면 액체의 대류 성분이 구조에 실어주는 관성도 부가질량의 언어로 등가 모델링된다.
수중 운동체: 잠수함·어뢰·선박 유체역학에서 가감속·선회 시 부가질량 텐서가 조종 방정식의 관성 항을 지배한다. 물속 로봇(AUV)의 제어기 설계는 이 텐서를 모르면 시작도 못 한다.
부유체 동역학: 파랑 중 부력체(부유식 플랫폼·부표)의 상하동요·횡동요 응답에서 부가질량은 고유주기를 결정하는 핵심 항이다.
말뚝·라이저의 파력: 가느다란 원통 구조가 받는 파력을 관성력(부가질량)과 항력의 합으로 쓰는 모리슨 방정식(Morison equation)

F = \rho\, C_m V \dot u + \tfrac{1}{2}\rho\, C_d A\, u|u|

에서 관성계수 $C_m = 1 + C_a$ 다(원통이면 이상값 $C_m = 2$ ). 앞항이 부가질량 항, 뒷항이 점성 항력 항이다. 해양공학 설계의 밥줄 공식.

6. 점성이 끼어들면[편집]

지금까지는 전부 포텐셜 유동의 이상값이었다. 실제 유체에서는 경계층과 유동박리가 그림을 바꾼다. 물체가 세게 가속하며 뒤에 와도를 흘리면, 이 흘린 와류가 되돌아와 힘에 이력(history)을 남긴다 — 순간 가속도만이 아니라 과거 운동 이력에 힘이 의존하는 **바셋 힘(Basset history force)**이 그것이다. 진동 유동에서 부가질량계수 $C_a$ 자체가 진동수와 진폭(쿨리건-카펜터 수)에 따라 이상값 주변을 오르내리는 것도 박리 때문이다.

그래서 실무에서는 이상 부가질량을 출발점으로 잡되, 계수를 실험이나 전산유체역학 해석으로 보정해 쓴다. 비정상 유동에서 물체에 걸리는 힘을 부가질량 항 + 항력 항 + 이력 항으로 쪼개는 이 분해가, 입자·기포·구조물의 운동방정식(BBO 방정식 계열)을 세우는 기본 틀이다.

7. 관련 문서[편집]

부가질량이 “질량인데 위치·속도가 아니라 가속도에 붙는다”는 점이 처음엔 헷갈린다. 요령은 이것이 관성이지 힘의 원천이 아니라는 것. 뉴턴 제2법칙의 왼쪽( $m\ddot x$ )으로 옮겨 $m+m_a$ 로 합치면 모든 게 제자리를 찾는다. 유체가 물체 질량을 슬쩍 불려준 셈이다. ↩
부가질량과 방사 감쇠는 사실 한 몸이다 — 진동하는 물체가 자유표면에 파를 방사하며 에너지를 잃는 것이 감쇠, 함께 진동하는 물덩이의 관성이 부가질량이고, 둘은 크래머스-크로니히류의 인과 관계로 주파수 응답 위에서 묶여 있다. 오늘 함께 나온 크라메르스-크로니히 관계가 여기서도 얼굴을 내민다. ↩