부분구조법

구조해석 유한요소법 마지막 수정: 2026-07-20 04:14:05

1. 개요[편집]

부분구조법(substructuring)은 거대한 유한요소 모델을 여러 개의 부분구조(substructure), 즉 슈퍼요소(superelement)로 나눈 뒤, 각 부분구조의 내부 자유도를 미리 축소(응축)하여 경계 자유도만으로 전체를 조립·해석하는 기법이다. 한마디로 “큰 모델을 통째로 씹지 말고, 덩어리별로 잘게 소화한 다음 경계에서만 이어 붙이자”는 발상이다. 수십만~수천만 자유도짜리 모델을 다뤄야 하는 자동차·항공·조선 산업에서 태어난, 지극히 실무적인 축소 기법이다.¹

기본 아이디어는 요소 자유도를 두 종류로 나누는 것이다. 다른 부분구조와 맞닿는 경계 자유도(boundary DOF, 마스터)와, 그 부분구조 내부에만 존재하는 내부 자유도(interior DOF, 슬레이브)다. 내부 자유도를 수학적으로 소거하면, 각 부분구조는 경계 자유도만 남은 하나의 큰 “요소”처럼 취급된다. 그래서 슈퍼요소라 부른다.

2. 정적 응축 (Guyan 축소)[편집]

가장 고전적인 방법은 정적 응축(static condensation), 이른바 Guyan 축소다. 강성행렬 방정식을 경계(b)와 내부(i)로 분할하면 다음과 같다.

\begin{bmatrix} \mathbf{K}_{bb} & \mathbf{K}_{bi} \\ \mathbf{K}_{ib} & \mathbf{K}_{ii} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \mathbf{u}_b \\ \mathbf{u}_i \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} \mathbf{f}_b \\ \mathbf{f}_i \end{Bmatrix}

내부 하중 $\mathbf{f}_i = \mathbf{0}$ 이라 가정하면 아래 식에서 내부 변위를 경계 변위로 표현할 수 있다.

\mathbf{u}_i = -\mathbf{K}_{ii}^{-1}\mathbf{K}_{ib}\,\mathbf{u}_b

이를 대입하면 경계 자유도만의 축소 강성행렬(Schur 보수)이 나온다.

\mathbf{K}^\ast_{bb} = \mathbf{K}_{bb} - \mathbf{K}_{bi}\mathbf{K}_{ii}^{-1}\mathbf{K}_{ib}

정적 응축은 정적 해석에서는 정확하다. 근사가 전혀 없다. 문제는 동해석이다. Guyan 축소는 내부 질량을 구속 모드 형상을 따라 경계로 “몰아주는데”, 이 정적 형상은 실제 진동 형상과 다르므로 관성이 왜곡된다. 그래서 축소 모델의 고유진동수는 실제보다 높게(뻣뻣하게) 나오는 경향이 있고, 오차는 주파수가 높을수록 커진다. 경험칙상 경계 자유도를 관성이 집중되는(질량이 큰) 절점에 배치할수록 오차가 줄어든다. 결국 정적 응축은 강성이 지배적인 준정적 문제나 저주파 거동에 적합하며, 정밀한 동특성이 필요하면 아래의 성분 모드 합성으로 넘어가야 한다.

3. 성분 모드 합성 (Craig-Bampton)[편집]

동해석에서 정적 응축의 한계를 넘기 위해 나온 것이 성분 모드 합성(Component Mode Synthesis, CMS)이며, 그 표준이 Craig-Bampton 법이다. 아이디어는 부분구조의 거동을 두 가지 기저의 합으로 표현하는 것이다.

구속 모드(constraint mode): 경계 자유도를 하나씩 단위 변위시켰을 때의 정적 변형 형상. 정적 응축의 변환 행렬과 동일하다.
고정계면 정규 모드(fixed-interface normal mode): 경계를 전부 고정한 채 부분구조 내부에서 고유값 해석으로 구한 진동 모드. 이 중 관심 주파수 대역의 저차 모드 몇 개만 남긴다.

\mathbf{u} = \boldsymbol{\Phi}_c\,\mathbf{u}_b + \boldsymbol{\Phi}_n\,\mathbf{q}

여기서 $\mathbf{q}$ 는 모드 좌표다. 이렇게 하면 내부 자유도 수백만 개가 경계 자유도 + 소수의 모드 좌표로 극적으로 줄면서도, 모드 해석에 필요한 동특성을 잘 보존한다. Craig-Bampton은 오늘날 NASTRAN·Abaqus·ANSYS Mechanical의 슈퍼요소/DMIG 기능으로 표준 탑재되어 있고, 축소차수모델과 유연 다물체 동역학의 핵심 재료로도 쓰인다.²

4. 왜 쓰는가[편집]

부분구조법이 산업 표준으로 자리 잡은 이유는 뚜렷하다.

반복 해석 효율: 설계 변경이 일부 부분구조에만 국한될 때, 나머지 부분구조의 슈퍼요소는 이미 계산해 둔 것을 재사용하고 바뀐 부분만 다시 응축하면 된다. 전체 재조립·재분해를 피하니 반복 최적화·감도 해석에서 압도적으로 빠르다.
대규모 조립 모델: 항공기 동체, 자동차 화이트바디처럼 부품 수천 개짜리 모델을 협력사별로 각자 슈퍼요소화해 넘겨받아 결합한다. 원본 격자를 공개하지 않고 축소 행렬만 교환하므로 지식재산 보호에도 유리하다.
비선형 국소화: 대부분이 선형 거동하고 접촉·소성 같은 비선형이 국소 영역에만 발생하는 문제에서, 선형 영역은 슈퍼요소로 한 번만 응축해 두고 비선형 영역만 매 반복 갱신한다. 자유도가 극적으로 줄어 해석 시간이 단축된다.
메모리·분해 비용: 직접 해법의 비용은 자유도 수에 초선형적으로 증가하므로, 자유도를 조각내면 각 조각의 분해가 훨씬 싸다. 병렬화와도 궁합이 좋아, 이 발상은 현대 영역 분할 기반 병렬 솔버(FETI 등)로 이어진다.

5. 한계와 주의점[편집]

공짜 점심은 없다. 슈퍼요소를 만드는 응축 자체가 부분행렬 역산( $\mathbf{K}_{ii}^{-1}$ )을 요구하므로, 부분구조 하나가 지나치게 크면 그 응축 비용이 이득을 잡아먹는다. 부분구조 분할과 경계 자유도 수를 적절히 잡는 것이 실력이다. Craig-Bampton에서는 남길 모드 수(모드 절단, mode truncation)를 얼마로 하느냐가 정확도를 좌우한다 — 관심 주파수의 1.5~2배까지 포함하는 것이 통상 권장된다. 또한 슈퍼요소 내부의 상세 응력을 보려면 데이터 복원(recovery) 단계에서 내부 자유도를 역변환해 되살려야 한다.³⁴

6. 관련 문서[편집]

부분구조법은 1960년대 아폴로 계획과 항공기 개발에서 태어났다. 당시 컴퓨터 메모리로는 전기체 모델을 한 번에 담을 수 없어, 날개·동체·꼬리를 따로 계산해 경계에서 이어 붙이는 것이 유일한 현실적 방법이었다. 하드웨어가 커진 지금도 쓰이는 건 여전히 이득이 크기 때문. ↩
Craig-Bampton은 1968년 Roy Craig와 Mervyn Bampton의 논문에서 왔다. 반세기가 지났지만 이름 두 개가 그대로 상용 코드 매뉴얼에 박혀 있다. 유연 다물체 동역학에서 회전하는 부품(크랭크축 등)을 슈퍼요소로 넣을 때 특히 애용된다. ↩
모드를 너무 적게 남기면 고주파 응답이 뭉개지고, 너무 많이 남기면 축소의 의미가 사라진다. “관심 주파수의 두 배까지”는 오랜 경험칙이며, 잔여 유연성(residual flexibility) 보정으로 절단 오차를 보완하기도 한다. ↩
슈퍼요소만 보면 경계 변위밖에 안 나오니, 내부가 안전한지 보려면 반드시 복원 단계를 거쳐야 한다. 이걸 잊고 “슈퍼요소 결과 정상”이라고 보고했다가 내부에서 항복이 났던 사례는 흔하다. ↩