사르코프스키 정리

계산물리 물리 수치해석 마지막 수정: 2026-08-24 04:26:15

1. 개요[편집]

사르코프스키 정리 Sharkovskii's theorem
발표	1964년, 올렉산드르 사르코프스키
대상	구간(또는 ℝ) 위의 연속 사상 f : I → I
내용	주기들 사이에 전순서 ▷ 가 있고, 앞의 주기가 있으면 뒤는 모두 있다
순서의 머리	3 ▷ 5 ▷ 7 ▷ …
순서의 꼬리	… ▷ 8 ▷ 4 ▷ 2 ▷ 1
필요한 가정	1차원 · 연속 · 구간(원은 안 됨)
리-요크와의 관계	11년 앞섬. 주기 부분만 겹치고 결론이 다름

사르코프스키 정리는 구간 위의 연속 사상이 가질 수 있는 주기들의 집합에 보편적인 전순서가 존재해서, 어떤 주기가 하나라도 존재하면 그 순서상 뒤에 오는 모든 주기가 자동으로 함께 존재한다는 정리다. 순서의 맨 앞에 3이 있기 때문에, 주기 3짜리 궤도가 하나만 있어도 모든 자연수 주기의 궤도가 전부 존재한다는 유명한 따름정리가 나온다.

1964년 우크라이나의 올렉산드르 사르코우스키(Олександр Шарковський)가 우크라이나 수학지에 러시아어로 발표했다.¹ 한국어 표기는 사르코프스키·샤르콥스키·샤르코우스키가 모두 쓰이고, 영문 표기도 Sharkovskii/Sharkovsky/Šarkovskii가 뒤섞여 있어 문헌 검색을 성가시게 만드는 것으로도 유명하다.

로지스틱 사상 문서가 주기 3 창의 맥락에서 이 정리를 이미 인용하고 있으므로, 여기서는 순서 자체의 구조, 증명이 실제로 무엇을 하는지, 가정을 하나씩 빼면 어떻게 무너지는지, 그리고 수치 실험으로 이 정리를 확인하려 할 때 벌어지는 참사를 다룬다.

2. 사르코프스키 순서[편집]

자연수 전체를 다음과 같이 줄 세운다. 먼저 홀수를 3부터 오름차순, 그다음 그 홀수들의 2배, 4배, 8배, … 를 차례로 놓고, 마지막에 2의 거듭제곱을 내림차순으로 놓는다.

3 \,\triangleright\, 5 \,\triangleright\, 7 \,\triangleright\, 9 \,\triangleright\, \cdots

\cdots \,\triangleright\, 2\!\cdot\!3 \,\triangleright\, 2\!\cdot\!5 \,\triangleright\, 2\!\cdot\!7 \,\triangleright\, \cdots \,\triangleright\, 2^2\!\cdot\!3 \,\triangleright\, 2^2\!\cdot\!5 \,\triangleright\, \cdots

\cdots \,\triangleright\, 2^3 \,\triangleright\, 2^2 \,\triangleright\, 2^1 \,\triangleright\, 2^0

정리. $I\subseteq\mathbb R$ 가 구간이고 $f:I\to I$ 가 연속이라 하자. $f$ 가 주기 $m$ 의 주기점을 가지고 $m \triangleright n$ 이면, $f$ 는 주기 $n$ 의 주기점도 가진다.

여기서 “주기 $m$ “은 정확히 $m$ 이라는 뜻이다( $f^m(x)=x$ 이면서 그보다 작은 어떤 $k$ 에 대해서도 $f^k(x)\ne x$ ). 이 구분을 놓치면 정리가 자명해 보이거나 반대로 틀려 보인다.

순서를 읽는 법은 이렇다. 홀수 주기는 전부 앞쪽 — 즉 가장 강한 조건이다. 홀수가 하나라도 있으면 그 뒤의 모든 것이 딸려 오고, 3은 그중에서도 최강이라 전부를 강제한다. 반대로 2의 거듭제곱은 꼬리 쪽 — 가장 약한 조건이다. 주기 2가 있다고 해서 딸려 오는 것은 고정점(주기 1)뿐이다. 로지스틱 사상의 주기배가 캐스케이드가 $2,4,8,16,\dots$ 순으로 진행하는 것이 순서의 꼬리를 거꾸로 거슬러 올라가는 모습이라는 게 이 정리의 첫 번째 인상적인 그림이다.

3. 역방향 — 순서는 정확히 실현된다[편집]

정리의 진짜 무게는 역에 있다. 순서상 “허용되는” 주기 집합이 실제로 전부 실현된다는 것이다.

각 $m$ 에 대해, 주기 집합이 정확히 $\{n : m \trianglerighteq n\}$ 인 연속 사상이 존재한다. 또한 주기 집합이 정확히 $\{1,2,4,8,\dots\} = \{2^k\}$ 인 사상도 존재한다.

즉 구간 사상의 주기 집합은 언제나 이 순서의 꼬리 구간이며, 그 외의 어떤 집합도 될 수 없다. 예컨대 “주기 5와 주기 1만 있고 주기 3은 없는” 사상은 존재하지만, “주기 3과 주기 1만 있는” 사상은 절대 존재하지 않는다. 실현하는 예는 꼭짓점을 자른 텐트 사상이나 조각 선형 사상으로 손으로 만들 수 있고, 마지막 $\{2^k\}$ 짜리는 파이겐바움 상수 축적점 $r_\infty\approx3.5699$ 에서의 로지스틱 사상이 바로 그 예다.

이 마지막 경우가 재미있다. $r_\infty$ 에서의 사상은 주기 $2^k$ 를 전부 갖지만 홀수 주기는 하나도 없고, 그래서 위상 엔트로피가 정확히 0이다. 실은 구간 사상에 대해 위상 엔트로피가 양수 ⟺ 2의 거듭제곱이 아닌 주기가 존재라는 동치가 성립한다. 사르코프스키 순서에서 “2의 거듭제곱 블록”과 “나머지” 사이의 경계선이 곧 카오스의 문턱선인 셈이다.

4. 증명이 실제로 하는 일[편집]

주기 3에서 시작하는 경우로 뼈대만 보자. 주기 3 궤도 $a<b<c$ 를 잡고, 편의상 $f(a)=b,\ f(b)=c,\ f(c)=a$ 라 하자(반대 방향이면 좌우를 뒤집으면 된다). 구간 두 개를 놓는다.

I_0 = [a,b], \qquad I_1 = [b,c]

연속함수의 상은 구간이므로 $f(I_0) \supseteq [b,c] = I_1$ 이고 $f(I_1) \supseteq [a,c] = I_0\cup I_1$ 이다. ” $J$ 가 $K$ 를 덮는다”( $f(J)\supseteq K$ )를 화살표로 그리면 마르코프 그래프가 나온다.

I_0 \to I_1, \qquad I_1 \to I_0, \qquad I_1 \to I_1

여기에 딱 하나의 보조정리를 붙인다.

덮기 보조정리. $J_0 \to J_1 \to \cdots \to J_{n-1} \to J_0$ 가 덮기 관계의 닫힌 고리이면, $f^i(x)\in J_i$ 이고 $f^n(x)=x$ 인 점 $x$ 가 존재한다.

증명은 중간값 정리 한 번이다. 각 단계에서 상이 다음 구간을 덮으므로 그 구간으로 정확히 사상되는 부분구간을 되짚어 잡아 나갈 수 있고, 마지막에 $g(x)=f^n(x)-x$ 가 부분구간의 양 끝에서 부호를 바꾼다. 1차원·연속이라는 가정이 오직 여기서만, 그러나 결정적으로 쓰인다.

이제 주기 $n\ge3$ 을 만들려면 고리를 이렇게 고른다.

\underbrace{I_1 \to I_1 \to \cdots \to I_1}_{n-1\ \text{번}} \to I_0 \to I_1

얻어진 점의 이동 경로(itinerary)는 $I_0$ 를 $n$ 스텝에 정확히 한 번만 방문하므로, 그보다 작은 주기를 가질 수 없다 — 주기가 정확히 $n$ 이다. 주기 2는 $I_0\to I_1\to I_0$ 고리에서, 주기 1은 $I_1\to I_1$ 고리에서 나온다. 이렇게 주기 3 궤도 하나에서 모든 주기가 기계적으로 뽑혀 나온다.

일반적인 $m \triangleright n$ 은 훨씬 지저분하다. 주기 $m$ 궤도의 점들을 크기순으로 늘어놓아 $m-1$ 개의 구간으로 쪼개고, 그 위의 덮기 그래프를 분석해 필요한 길이의 고리를 찾아내는 조합적 논증이 들어간다. 다만 아이디어는 위와 완전히 같다: 궤도 하나 → 구간 분할 → 덮기 그래프 → 고리 → 주기점. 기호 동역학이 이 그래프의 언어이며, 사르코프스키의 원논문은 기호동역학이라는 용어가 이 분야에서 표준이 되기 전에 같은 일을 손으로 해낸 것이다.

5. 리-요크와 같은 정리가 아니다[편집]

1975년 리텐옌(Li Tien-Yien)과 제임스 요크는 American Mathematical Monthly 에 Period Three Implies Chaos 를 실었다. “카오스(chaos)“라는 단어가 이 분야의 술어로 처음 쓰인 논문이고, 그래서 대중적으로는 이쪽이 훨씬 유명하다. 그런데 두 정리는 겹치기는 해도 같은 물건이 아니다.

	사르코프스키(1964)	리-요크(1975)
가정	주기 $m$ 이 존재 (임의의 $m$ )	주기 3 (정확히는 그보다 약한 부등식 조건)
결론 A	$m$ 뒤의 모든 주기가 존재	모든 주기가 존재
결론 B	(없음)	셀 수 없는 스크램블 집합이 존재
성격	주기의 조합론, 전순서 전체	주기 3이라는 한 점 + 비주기 거동

리-요크의 결론 A는 사르코프스키 정리에서 $m=3$ 인 경우 그 자체다. 대신 리-요크는 결론 B를 추가로 준다 — 셀 수 없이 많은 점들로 이루어진 집합 $S$ 가 있어서, 서로 다른 $x,y\in S$ 에 대해 궤도가 무한히 자주 가까워졌다가 무한히 자주 멀어진다는 것이다.

\limsup_{n\to\infty}\lvert f^n(x)-f^n(y)\rvert > 0, \qquad \liminf_{n\to\infty}\lvert f^n(x)-f^n(y)\rvert = 0

이것을 리-요크 카오스라 부른다. 사르코프스키 정리는 이런 말을 전혀 하지 않는다. 반대로 리-요크는 주기 3이 아닌 경우에 대해 아무 말도 하지 않는다. 게다가 리-요크 카오스는 주기 3보다 훨씬 약한 조건에서도 나온다 — 위상 엔트로피가 0인 사상(즉 주기가 2의 거듭제곱뿐인 사상) 중에도 리-요크 카오스인 것이 존재한다는 사실이 1980년대에 밝혀졌다. “카오스”라는 단어의 정의가 하나가 아니라는 사실을 이 두 정리의 관계가 잘 보여준다.²

역사적으로는 서방 수학계가 1964년 논문의 존재를 한참 몰랐다. 우크라이나 수학지에 실린 러시아어 논문이라 냉전기의 문헌 장벽에 걸렸고, 리-요크 논문이 나오고 나서야 “이미 11년 전에 더 일반적인 결과가 있었다”는 것이 알려졌다. 오늘날 표준 교과서는 두 정리를 나란히 싣고, 리-요크의 이름은 결론 B와 “카오스”라는 작명에 남았다.

6. 가정이 하나라도 빠지면[편집]

이 정리는 가정이 놀랍도록 빠듯하다. 세 개 중 하나라도 빼면 즉사한다.

구간이 아니면 안 된다 — 원사상 반례. 원 위의 회전 $x \mapsto x+\omega \pmod 1$ 에서 $\omega = p/q$ (기약분수)라 하자. 그러면 모든 점의 주기가 정확히 $q$ 다. 주기 $q$ 는 있는데 주기 1도, 주기 2도, 다른 어떤 주기도 없다. $q=3$ 으로 놓으면 “주기 3만 있고 나머지는 하나도 없는” 연속 사상이 만들어지므로 사르코프스키 정리는 원 위에서 완전히 무너진다. 이유도 명확하다 — 원에는 순서가 없어서 위 증명의 " $a<b<c$ " 와 중간값 정리 논법이 성립하지 않는다. 원사상의 주기 구조는 대신 회전수(rotation number)라는 전혀 다른 불변량이 지배한다.

1차원이어야 한다. 평면에서 원점 중심으로 $2\pi/3$ 만큼 회전시키는 사상은 원점이 고정점이고 나머지 모든 점의 주기가 3이다. 주기 2도, 주기 5도 없다. 2차원부터는 궤도가 서로를 “가로질러” 갈 수 있어서 순서 논법이 통하지 않는다.

연속이어야 한다. 불연속을 허용하면 마르코프 그래프를 마음대로 조각낼 수 있으므로 주기 집합도 마음대로 만들 수 있다. 중간값 정리가 유일한 도구였다는 사실을 다시 떠올리면 당연하다.

세 반례를 나란히 놓고 보면 이 정리가 “카오스 이론의 정리”라기보다 실직선의 순서구조에 관한 정리임이 드러난다. 카오스는 그 결과로 딸려 나오는 것이다.

7. 로지스틱 사상에서 실제로 보이는 순서[편집]

$f_r(x)=rx(1-x)$ 에서 매개변수 $r$ 을 올릴 때 주기들이 태어나는 순서가 사르코프스키 순서의 정확한 역이라는 사실은, 이 사상족의 커딩 불변량이 $r$ 에 대해 단조라는 별도의 깊은 결과(밀너-서스턴, 뒤아디-허버드)와 사르코프스키 정리를 합쳐야 나온다. 주기 집합이 $r$ 에 대해 절대 줄지 않으므로, 각 주기의 최초 등장 시점이 꼬리부터 머리 쪽으로 차례로 배열된다.

1 \ \to\ 2 \ \to\ 4 \ \to\ 8 \ \to\ \cdots \ \to\ \cdots \ \to\ 7 \ \to\ 5 \ \to\ 3

그래서 주기 3이 가장 늦게 태어난다. 그 시점이 접선 분기로 주기 3 궤도쌍이 튀어나오는

r = 1+\sqrt8 = 1+2\sqrt2 \approx 3.828427

이고, 이 값을 지나는 순간 사르코프스키에 의해 모든 주기의 궤도가 이미 존재하게 된다. 주기 3 창의 존재가 그토록 자주 인용되는 이유가 이것이다.

여기서 반드시 구분해야 할 것이 있다. “주기 $n$ 궤도가 존재한다”와 “화면에 주기 $n$ 이 보인다”는 완전히 다른 말이다. $r=1+2\sqrt2$ 이상에서 존재가 보장된 무수한 주기 궤도는 거의 전부 불안정하며 측도 0의 집합이다. 실제로 관측되는 것은 그 순간 안정한 궤도 하나뿐이다. 주기 3 창 안에서는 주기 3만 보이고, 창을 벗어나면 다시 카오스 밴드가 보이며, 그 위쪽에도 주기 5·6·7 창들이 여기저기 나타나지만 그것들은 그 주기의 최초 등장이 아니라 이미 존재하던 궤도가 잠시 안정해진 것이다. 분기 다이어그램은 안정 끌개만 그리므로 사르코프스키 정리의 내용은 원리적으로 거의 보이지 않는다.³

8. 수치로 주기를 세는 일이 위태로운 이유[편집]

그래서 “코드를 돌려서 사르코프스키 정리를 확인해 보자”는 시도는 대개 실패한다. 실패의 원인은 넷이다.

1. 과도상태. $\lvert x_{k+n}-x_k\rvert<\varepsilon$ 로 주기를 판정하면, 아직 끌개에 안착하지 않은 궤도가 우연히 조건을 만족하는 일이 흔하다. 주기배가 분기점 근처에서는 안착 시간이 $\lvert r-r_c\rvert^{-1}$ 규모로 발산하므로 앞부분 수천 스텝을 버려도 부족하다.

2. 간헐성이라는 함정. 주기 3 창의 왼쪽 문턱 직전에서는 간헐성이 나타나 궤도가 “거의 주기 3”인 층류 구간에 수백~수천 스텝씩 머무르다 카오스 폭발로 튀어나온다. 유한한 창을 잘라 보면 영락없이 주기 3인데 실제로는 주기 3 궤도가 아직 태어나지도 않았다. 이 오판정 하나로 $r=1+2\sqrt2$ 라는 문턱값을 통째로 잘못 잡는 사고가 실습 과제에서 매년 재생산된다.

3. 불안정 궤도는 원래 안 보인다. 정리가 보장하는 궤도의 절대다수는 랴푸노프 지수가 양수인 안장형이다. 이것을 보려면 반복만으로는 안 되고 $f^n(x)=x$ 를 뉴턴법으로 직접 푸는 주기궤도 탐색을 해야 하며, 주기가 커질수록 해가 지수적으로 많아지고( $n$ 이 커지면 $f^n$ 의 고정점 수가 $2^n$ 규모) 조건수도 지수적으로 나빠진다. 주기 30쯤 되면 배정밀도로는 손도 못 댄다.

4. 유한 정밀도에서는 모든 궤도가 주기적이다. 부동소수점 연산의 상태 수가 유한하므로 어떤 궤도든 언젠가 반드시 정확히 반복되고, 그 “주기”는 카오스와 아무 상관 없는 표현 가능 상태 수의 부산물이다. 게다가 $r=4$ 근처의 로지스틱 사상은 이진 표현에서 $\theta\mapsto2\theta$ 인 비트 시프트와 켤레라(위상 공액) 매 반복마다 유효비트를 1비트씩 잃고, 53비트짜리 배정밀도는 50여 스텝 만에 계산된 궤도와 진짜 궤도의 상관이 완전히 사라진다.

정직한 결론은 이렇다. 사르코프스키 정리는 수치 실험으로 확인하는 정리가 아니라, 수치 실험의 결과를 해석할 때 배경으로 깔아 두는 정리다. 분기 다이어그램에 주기 3 창이 보였다면 그 오른쪽 전부에서 무한히 많은 주기 궤도가 숨어 있다는 것을 정리가 알려주는 것이지, 그 궤도들을 화면에서 찾아내라는 뜻이 아니다.

9. 관련 문서[편집]

О. М. Шарковський, “Співіснування циклів неперервного перетворення прямої в себе”, Український математичний журнал 16(1), 1964, 61–71. 제목을 옮기면 “직선을 자기 자신으로 보내는 연속변환의 순환들의 공존”. 발표 당시 저자는 20대 후반의 대학원생이었고, 이 논문 하나로 구간 동역학이라는 분야의 좌표를 찍었다. ↩
“카오스의 정의가 뭐냐”는 질문에 정색하고 답하면 최소 네 개(리-요크, 데바니, 양의 위상 엔트로피, 양의 랴푸노프 지수)가 나오고 이들은 서로 동치가 아니다. 논문에서 “카오스적이다”라고 쓸 때 어느 정의인지 밝히지 않으면 심사에서 정확히 그 지적을 받는다. 재미있게도 “Period Three Implies Chaos”라는 제목은 이 혼란의 출발점이면서 동시에 이 분야 최고의 제목으로 꼽힌다. ↩
그래서 “주기 3이면 카오스”라는 표어는 엄밀히 말해 관측 가능한 무질서를 약속하지 않는다. 주기 3 창 한복판( $r\approx3.83$ )에서 로지스틱 사상을 돌리면 랴푸노프 지수가 음수인, 지루하기 짝이 없는 3점 왕복이 나온다. “주기 3이면 카오스”는 위상적 복잡도에 관한 진술이지 화면에 보이는 것에 관한 진술이 아니다. ↩