수동성

수치해석 전자공학 물리 마지막 수정: 2026-08-14 04:11:20

1. 개요[편집]

수동성 Passivity
소산 부등식	$\dot V \le u^\top y$
구성 요소	저장함수 $V \ge 0$ · 공급률 $s(u,y)$
선형계 등가	양실(positive real) · 위상이 $\pm 90^\circ$ 안
상태공간 판정	KYP(양실) 보조정리
보존되는 결선	병렬 · 되먹임 (직렬은 아님)
깨지는 곳	표본화·영차유지 · 시간지연 · 비병치 센서

에너지를 만들어내지 못하는 물건끼리 아무리 이어 붙여도, 없던 에너지가 생겨날 리 없다.

수동성(passivity)은 어떤 계가 외부에서 공급받은 에너지보다 더 많은 에너지를 내놓을 수 없다는 성질이며, 이를 저장함수 $V(x) \ge 0$ 과 공급률 $s(u,y) = u^\top y$ 에 대한 소산 부등식

\dot V \big(x(t)\big) \;\le\; u(t)^\top y(t)

로 형식화한 것이다. 시간에 대해 적분하면 $V(x(T)) - V(x(0)) \le \int_0^T u^\top y \, dt$ , 즉 저장량의 증가분은 공급량을 넘지 못한다. $V$ 가 실제 물리적 에너지일 필요는 없다는 점이 이 개념의 힘이다 — 부등식만 만족하면 무엇이든 저장함수로 쓸 수 있고, 그러면 전기·기계·유압·열이 섞인 계를 하나의 언어로 다룰 수 있다.

리아푸노프 함수가 자율계의 안정성을 재는 도구라면, 수동성은 그것을 입출력이 달린 계로 확장한 것이다. 실제로 $u \equiv 0$ 을 넣으면 $\dot V \le 0$ 이 되어 저장함수가 그대로 리아푸노프 함수가 된다. 반대로 작은 이득 정리와는 정면으로 대조된다 — 작은 이득은 크기를 재고 위상을 버리는 반면, 수동성은 크기를 아예 묻지 않고 위상만 제약한다. 이득이 무한대인 적분기가 수동성 틀에서는 아무 문제도 아니라는 점이 그 차이를 가장 잘 보여준다.

2. 정의의 갈래[편집]

부등식 우변을 얼마나 깎아내느냐에 따라 등급이 나뉜다. 이 구분이 안정성 결론의 강도를 결정하므로 대충 넘길 수 없다.

수동적(passive): $\dot V \le u^\top y$ .
출력 엄격 수동적(output strictly passive, OSP): $\dot V \le u^\top y - \varepsilon\, y^\top y$ , $\varepsilon > 0$ . 출력이 나오는 만큼 반드시 에너지를 까먹는다.
입력 엄격 수동적(input strictly passive, ISP): $\dot V \le u^\top y - \delta\, u^\top u$ .
엄격 수동적: $\dot V \le u^\top y - \psi(x)$ , $\psi$ 는 양정부호. 상태가 0이 아니면 무조건 소산된다.

여기서 입력과 출력의 차원이 같아야 한다는 조건이 조용히 깔려 있다. $u^\top y$ 가 물리적으로 전력(force × velocity, voltage × current)의 차원이어야 이야기가 성립하기 때문이다. 제어 설계에서 “출력을 무엇으로 잡을 것인가”가 수동성에서는 취향 문제가 아니라 성립/불성립을 가르는 결정이 된다.

3. 선형계 — 양실함수와 KYP[편집]

선형 시불변계에서 수동성은 전달함수의 성질로 완전히 번역된다. $G(s)$ 가 양실(positive real)이라는 것은 우반평면에서 해석적이고 $G(s) + G(s)^* \succeq 0$ ( $\mathrm{Re}\, s > 0$ )이라는 뜻이며, 안정한 SISO계라면 간단히

\mathrm{Re}\, G(j\omega) \;\ge\; 0 \qquad \forall \omega

이다. 나이퀴스트 안정성 판별법의 언어로 말하면 궤적이 통째로 우반평면 안에 갇혀 있다는 것이고, 위상으로 말하면 $|\angle G(j\omega)| \le 90^\circ$ 다. 여기서 두 가지 구조적 귀결이 따라 나온다. 첫째, 상대차수가 0 또는 1이어야 한다(상대차수 2면 고주파 위상이 $-180^\circ$ 로 간다). 둘째, 최소위상이어야 한다. 우반평면 영점은 위상을 추가로 깎으므로 양실성과 공존할 수 없다.

상태공간에서의 판정은 KYP 보조정리(칼만-야쿠보비치-포포프, 양실 보조정리라고도 한다)가 준다. 최소실현 $(A,B,C,D)$ 에 대해 $G$ 가 양실일 필요충분조건은 다음을 만족하는 $P = P^\top \succ 0$ , $L$ , $W$ 가 존재하는 것이다.

A^\top P + PA = -L^\top L, \qquad PB = C^\top - L^\top W, \qquad W^\top W = D + D^\top

그리고 그 $P$ 가 곧 저장함수 $V(x) = \tfrac12 x^\top P x$ 를 준다. 즉 “에너지 같은 것”이 존재한다는 주장을 행렬 방정식으로 검증할 수 있다. 이 조건을 부등식으로 느슨하게 쓰면

\begin{pmatrix} A^\top P + PA & PB - C^\top \\ B^\top P - C & -(D + D^\top) \end{pmatrix} \preceq 0

이라는 선형행렬부등식이 되어 반정부호 계획법으로 바로 풀린다. 리아푸노프 부등식과 형태가 닮은 것이 우연이 아닌 이유는 앞서 말한 대로다.¹

4. 수동성 정리[편집]

수동성이 이론으로 성립하는 이유는 결선에 대해 닫혀 있기 때문이다.

병렬 결선( $y = y_1 + y_2$ , 같은 $u$ ): 저장함수를 더하면 그대로 수동적.
음되먹임 결선: $u_1 = r_1 - y_2$ , $u_2 = r_2 + y_1$ 이면 교차항이 소거되어 $V_1 + V_2$ 가 저장함수가 된다. 역시 수동적.
직렬 결선: 보존되지 않는다. 양실함수 두 개의 곱은 양실이 아니다( $1/s$ 두 개를 곱하면 위상이 $-180^\circ$ 가 된다). 수동성 기반 설계가 늘 되먹임 구조로 그려지는 이유다.

여기서 수동성 정리가 나온다.

수동적인 계와 출력 엄격 수동적인 계를 음되먹임으로 물리면 폐루프는 $\mathcal{L}_2$ 안정이다. 여기에 영상태 관측가능성(zero-state detectability)을 더하면 원점이 점근 안정이다.

증명은 두 소산 부등식을 더하는 것으로 끝난다 — 교차항 $u_1^\top y_1 + u_2^\top y_2$ 가 결선 관계에 의해 외부 입력항만 남기고 사라지고, OSP 쪽의 $-\varepsilon y^\top y$ 가 유일하게 살아남아 $\mathcal{L}_2$ 유계를 준다. 이득의 크기가 어디에도 등장하지 않는다는 점이 이 정리의 전부다. 앞서 든 적분기 예 — $1/s$ 에 아무리 큰 상수 이득 $k$ 를 물려도 안정하다는 사실 — 은 $1/s$ 가 수동적이고 $k$ 가 입력·출력 엄격 수동적이라는 한 줄로 끝난다. 작은 이득 정리로는 손도 못 대는 문제다.

두 정리가 남남인 것도 아니다. 산란 변환(scattering transformation)

\begin{pmatrix} v \\ w \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2b}} \begin{pmatrix} b\,\dot x + F \\ b\,\dot x - F \end{pmatrix}

으로 좌표를 바꾸면 “수동적”이라는 조건이 정확히 “산란 연산자의 이득이 1 이하”라는 조건으로 사상된다. 전송선 이론에서 입사파·반사파를 나누고 임피던스 정합을 논하는 것과 완전히 같은 대수다. 두 정리는 같은 물건을 다른 좌표에서 본 것이다.

5. 포트-해밀토니안 계와 에너지 정형화[편집]

수동성이 단순한 판정 기준을 넘어 모델링 언어가 되는 지점이 포트-해밀토니안(port-Hamiltonian) 표현이다.

\dot x = \big[J(x) - R(x)\big]\frac{\partial H}{\partial x} + g(x)\,u, \qquad y = g(x)^\top \frac{\partial H}{\partial x}

여기서 $H(x)$ 는 아래로 유계인 에너지, $J = -J^\top$ 는 에너지를 옮기기만 하는 상호연결 구조, $R = R^\top \succeq 0$ 는 소산이다. 그러면 계산 한 줄로

\dot H = -\frac{\partial H}{\partial x}^{\!\top} R \frac{\partial H}{\partial x} + y^\top u \;\le\; y^\top u

가 나온다. 수동성이 정의에서 공짜로 떨어진다. $J$ 의 반대칭성이 “구조는 에너지를 만들지 않는다”, $R \succeq 0$ 이 “소산은 에너지를 깎는다”에 각각 대응하며, 해밀토니안 역학의 심플렉틱 구조에 소산과 외부 포트를 붙인 확장이라고 보면 된다. 회로의 커패시터·인덕터·저항, 기계의 질량·스프링·댐퍼, 유압의 압축성·관성·마찰이 전부 같은 틀에 들어가므로 다물리 연성 모델을 조립하는 데 특히 강하다 — 포트를 맞물리면 결합계도 자동으로 포트-해밀토니안이다.

제어 쪽 응용이 에너지 정형화(energy shaping)다. 발상은 단순하다. 원하는 평형점에서 최소가 되도록 폐루프 에너지 $H_d$ 를 설계한 뒤, 그 $H_d$ 를 만들어 주는 되먹임을 찾는다. 가장 고전적인 결과가 다케가키-아리모토(1981)의 PD + 중력 보상으로, 관절 로봇에

\tau = g(q) - K_p \tilde q - K_d \dot q, \qquad \tilde q = q - q_d

를 넣으면 폐루프 에너지가 $\tfrac12 \dot q^\top M(q)\dot q + \tfrac12 \tilde q^\top K_p \tilde q$ 가 되어 전역 점근 안정이 증명된다. 모델의 관성행렬을 하나도 몰라도 된다는 것이 이 결과의 충격적인 부분이다. 이를 일반화해 상호연결 구조 $J$ 와 소산 $R$ 까지 함께 재설계하는 것이 IDA-PBC(상호연결·소산 배정 수동성 기반 제어)이며, 대가로 편미분방정식 형태의 정합 조건을 풀어야 한다.

6. 로봇과 햅틱[편집]

강체 매니퓰레이터 $M(q)\ddot q + C(q,\dot q)\dot q + g(q) = \tau$ 에서 코리올리 행렬을 크리스토펠 기호로 잡으면 $\dot M - 2C$ 가 반대칭이 된다. 이 항등식 하나로

\frac{d}{dt}\left[\tfrac12 \dot q^\top M \dot q + P(q)\right] = \dot q^\top \tau

가 나오고, 따라서 관절 토크 $\tau$ 에서 관절 속도 $\dot q$ 로의 사상이 수동적이다. 이 사실이 로봇 제어 이론의 뼈대다 — 슬로틴-리의 적응 제어, 임피던스 제어, 힘 제어의 안정성 증명이 전부 여기서 출발한다. 사람과 물리적으로 접촉하는 로봇에서 수동성을 요구하는 이유는 인증 문서 때문만이 아니다. 사람은 안정성이 보장되지 않은 되먹임 상대다. 로봇 쪽이 수동적이면 사람이 무엇을 하든(사람도 수동적이라고 보면) 결합계가 터지지 않는다.

햅틱 장치는 이 논리가 가장 날것으로 드러나는 무대다. 가상 벽을 $F = -K x - B\dot x$ 로 구현하면 연속시간에서는 명백히 수동적인데, 실제 장치는 주기 $T$ 로 표본화하고 영차유지로 출력한다. 표본화가 수동성을 깬다. 반 스텝 늦은 힘을 내보내는 순간 위상이 밀려 에너지가 순증하는 구간이 생기고, 그 결과 벽에 닿으면 손잡이가 윙윙 떠는 유명한 현상이 나온다. 콜게이트-셴켈(1997)은 장치의 물리적 감쇠 $b$ 가

b \;>\; \frac{KT}{2} + |B|

를 만족해야 표본화된 계 전체가 수동적임을 보였다. 가상 강성의 상한이 장치의 마찰과 제어 주기로 결정된다는 뜻이며, 딱딱한 벽을 만들고 싶으면 루프를 빨리 돌리든가 기계에 감쇠를 넣으라는 설계 지침이 여기서 나온다. 부등식을 미리 만족시키는 대신, 실시간으로 누적 에너지를 세다가 새어 나가면 그만큼 감쇠를 주입하는 수동성 관측기/제어기(한나포드-류, 2002) 방식도 널리 쓰인다.

원격조작에서 통신 지연이 붙으면 이야기가 더 나빠진다. 힘과 속도를 그대로 주고받으면 지연이 얼마나 작든 결합계가 불안정해질 수 있다. 처방은 앞서 나온 산란 변환이다. 파동 변수로 바꿔 보내면 지연의 크기와 무관하게 통신 채널이 수동적으로 유지된다(앤더슨-스퐁 1989, 니마이어-슬로틴 1991). 지연을 보상하려 애쓰는 스미스 예측기 계열과는 철학이 정반대다 — 이쪽은 지연을 정확히 알 필요가 없다.

7. 수치적분에서의 수동성 보존[편집]

시뮬레이션에서 수동성은 자동으로 딸려오지 않는다. 연속계가 수동적이어도 이산화가 그 성질을 깨면, 시뮬레이션 안에서만 존재하는 에너지가 생겨나 발산한다. 베를레 적분이나 심플렉틱 적분기가 보존계의 에너지 표류를 막듯이, 열린 계에는 소산 부등식을 보존하는 이산화가 필요하다.

명시적 오일러는 위험하다. 스프링-질량 같은 무손실계에 적용하면 에너지가 스텝마다 단조 증가한다. 수동성이 딱 어긋나는 방향으로 깨진다.
사다리꼴/쌍선형 변환(터스틴)은 양실성을 보존한다. 이 사상이 허수축을 단위원으로, 우반평면을 단위원 바깥으로 보내면서 $\mathrm{Re}\,G \ge 0$ 조건을 이산 양실 조건으로 그대로 옮기기 때문이다. 수동적 소자를 이산화할 때 터스틴이 국룰인 실질적 이유가 이것이다.
음해 중점법과 이산 기울기법은 에너지 함수의 변화량을 정확히 $\Delta H = \nabla_d H^\top \Delta x$ 형태로 재현해, 소산 부등식을 이산 등식으로 만족시킨다. 다물체·유연체 연성 해석에서 에너지-운동량 보존 적분기가 선호되는 배경이다.
연성 해석의 결합 반복도 같은 문제다. 두 솔버를 번갈아 호출하면서 한 스텝 지난 값을 주고받으면, 그 지연이 정확히 햅틱의 영차유지와 같은 방식으로 에너지를 주입한다. 하드웨어 인 더 루프의 인터페이스 지연이 만드는 가짜 불안정도 같은 뿌리다.

8. 한계 — 수동성이 성립하지 않는 곳[편집]

비병치 센서. 액추에이터와 센서가 물리적으로 같은 지점에 있지 않으면(non-collocated) 전달함수의 상대차수가 2 이상이 되거나 극·영점 교대 패턴이 깨져 양실성이 사라진다. 반대로 병치된 속도 되먹임은 이득에 무관하게 안정이라, 유연 구조물 진동 제어의 안전한 출발점으로 쓰인다(모드 해석 관점에서는 모든 모드가 동시에 감쇠된다).
상대차수 제약이 성능을 묶는다. 양실 제어기는 위상을 $\pm 90^\circ$ 안에 가둬야 하므로 고주파 롤오프를 마음대로 세울 수 없다. 잡음 억제를 위해 필터를 세게 넣는 순간 수동성이 깨진다. 이 답답함을 푸는 완화가 섹터 조건을 일반화한 IQC 틀이며, 수동성과 작은 이득은 그 안에서 특정 승수를 고른 두 특수 사례다.
성능은 보장하지 않는다. 수동성이 주는 것은 “안 터진다”이지 “빠르다”가 아니다. 수동성만 걸고 설계하면 굼뜬 제어기가 나오기 쉽다.
모델이 수동적이라고 구현이 수동적인 것은 아니다. 위에서 본 표본화·지연·양자화가 전부 수동성을 갉아먹는다. 이론 증명과 현장 진동 사이의 간극은 대개 여기 있다.²

9. 관련 문서[편집]

이름에 붙은 세 사람이 각각 다른 언어로 같은 것을 말했다는 점이 재미있다. 포포프는 절대안정성 판정을 위한 주파수 조건으로, 야쿠보비치와 칼만은 그 조건을 상태공간의 행렬 방정식으로 옮기면서 등장했다. 오늘날 LMI 한 줄로 압축된 이 정리를 놓고 1960년대에는 논문이 몇 편씩 오갔다. ↩
“이론적으로 수동적인데 왜 떨죠?”라는 질문의 답은 열에 아홉 제어 주기다. 가상 벽 강성을 두 배로 올렸으면 루프 주기를 절반으로 줄이거나, 아니면 손잡이에 기름을 덜 치라는 이야기다. 후자가 농담처럼 들리지만 콜게이트-셴켈 부등식은 정확히 그렇게 읽으라고 있는 식이다. ↩

수동성