기술함수법

수치해석 전자공학 시뮬레이션 마지막 수정: 2026-08-14 04:37:52

1. 개요[편집]

기술함수법 Describing Function Method
다른 이름	등가 선형화 · 조화 평형(harmonic balance)의 1차 근사
근사	정현파 입력에 대한 출력의 기본파 성분만 남긴 복소 이득 $N(A)$
한계주기 조건	$1 + N(A)G(j\omega) = 0$
도해	나이퀴스트 궤적 $G(j\omega)$와 $-1/N(A)$ 궤적의 교점
핵심 가정	플랜트의 저역통과 특성(고조파 감쇠)
지위	엄밀한 정리가 아니라 공학적 근사

비선형 요소를 “진폭에 따라 이득이 변하는 선형 요소”라고 우기면, 선형 제어이론 전체를 그대로 재활용할 수 있다. 이 뻔뻔함이 놀랍도록 자주 맞는다.

기술함수법(describing function method)은 비선형 요소의 입력이 정현파라고 가정하고, 그 출력의 기본파 성분만 남겨 얻은 진폭 의존 복소 이득 $N(A)$ 로 비선형성을 대체하는 준선형화 기법이다. 그러면 비선형 되먹임계의 특성방정식이 선형계의 것과 똑같은 꼴 $1 + N(A)G(j\omega) = 0$ 이 되어, 나이퀴스트 안정성 판별법의 도구를 그대로 빌려 극한 순환의 진폭과 주파수를 예측할 수 있다.

1940년대에 여러 나라에서 거의 동시에 등장했다 — 러시아의 크릴로프-보골류보프 등가 선형화, 미국의 코추린, 독일의 오펠트, 영국의 대니얼 등이 각자 같은 아이디어에 도달했다. 전쟁기의 서보 기구가 하나같이 포화·백래시·마찰을 안고 있었고, 그것들이 만드는 지속 진동을 설명할 도구가 급했기 때문이다. 오늘날에도 릴레이 오토튜닝(계전기 되먹임), 발진기 설계, PLL, 항공기 액추에이터 속도 제한이 만드는 진동 해석에서 1선 도구로 쓰인다.

주의할 점을 먼저 못 박아 두자. 기술함수법은 정리가 아니다. 충분조건도 필요조건도 아니고, 반례가 실제로 존재한다. 그럼에도 살아남은 이유는 손으로 30분이면 답이 나오고, 그 답이 대개 몇 % 안에서 맞기 때문이다.

2. 1차 하모닉 근사[편집]

정적 비선형 요소 $y = f(e)$ 에 $e(t) = A\sin\omega t$ 를 넣는다. 출력 $y$ 는 일반적으로 정현파가 아니지만 주기적이므로 푸리에 변환으로 전개된다.

y(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty}\big(a_k \cos k\omega t + b_k \sin k\omega t\big)

여기서 직류항과 2차 이상의 고조파를 전부 버리고 기본파만 남긴 뒤, 입력 대비 복소비를 취한 것이 기술함수다.

N(A) = \frac{b_1 + j a_1}{A}, \qquad a_1 = \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} y\,\cos\theta \,d\theta, \quad b_1 = \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} y\,\sin\theta\, d\theta

버려도 되는 근거는 두 가지다. 첫째, 비선형성이 홀함수( $f(-e) = -f(e)$ )면 직류와 짝수 고조파가 자동으로 0이다. 둘째, 뒤에 붙은 플랜트가 저역통과라면 $3\omega, 5\omega$ 성분이 되돌아올 때쯤 충분히 감쇠되어 있다. 이 두 번째가 저역통과 가정이고, 이 방법의 생사가 전적으로 여기에 달려 있다.

$N(A)$ 의 성질도 여기서 읽힌다. 비선형성이 기억이 없으면(단일값 함수) $a_1 = 0$ 이라 $N$ 은 실수이고, 이력(hysteresis)이 있어 입출력 곡선이 면적을 감싸면 $a_1 \ne 0$ 이라 복소수가 되며 그 위상은 항상 지연 쪽이다. 감싼 면적이 한 주기 동안 소산되는 에너지에 대응하므로, 이는 수동성 관점에서 보면 당연한 결론이다. 그리고 결정적으로 $N$ 은 주파수에 의존하지 않는다 — 정적 비선형성은 시간 척도를 모르기 때문이다. 속도 제한기처럼 동적인 요소는 예외라서 $N(A, \omega)$ 가 된다.

3. 대표적 비선형 요소[편집]

실무에서 마주치는 것 대부분은 표로 정리되어 있다. 아래에서 $k$ 는 선형 구간의 기울기, $\delta$ 는 꺾이는 지점, $d$ 는 계전기 출력 크기다.

비선형 요소	조건	$N(A)$
포화	$A \le \delta$	$k$
포화	$A > \delta$	$\dfrac{2k}{\pi}\left[\arcsin\dfrac{\delta}{A} + \dfrac{\delta}{A}\sqrt{1 - (\delta/A)^2}\right]$
불감대	$A \le \delta$	$0$
불감대	$A > \delta$	$k - \dfrac{2k}{\pi}\left[\arcsin\dfrac{\delta}{A} + \dfrac{\delta}{A}\sqrt{1 - (\delta/A)^2}\right]$
이상 계전기	모든 $A$	$\dfrac{4d}{\pi A}$
불감대 계전기	$A \ge \delta$	$\dfrac{4d}{\pi A}\sqrt{1 - (\delta/A)^2}$

포화와 불감대의 식이 더하면 정확히 $k$ 가 된다는 점을 눈여겨볼 만하다. 두 요소를 병렬로 놓으면 원래의 선형 이득이 복원되는 항등식이 기술함수 수준에서도 그대로 성립하는 것인데, 기술함수 계산이 선형 연산(적분)이기 때문이다. 병렬 결선은 더하면 되고, 직렬 결선은 그렇게 되지 않는다는 점도 같은 이유로 따라 나온다 — 앞 요소의 출력이 이미 정현파가 아니므로 뒤 요소에 정현파 입력 가정을 다시 쓸 수 없다.

세 요소 모두 $A$ 가 커질수록 $N$ 이 줄어드는 포화형이라, 진폭이 커지면 실효 이득이 떨어져 진동이 스스로 억제된다. 이 자기 안정화가 극한 순환이 특정 진폭에 정착하는 메커니즘이다.

히스테리시스가 붙은 계전기는 $N$ 이 복소가 되며, 그 유도와 $-1/N$ 궤적의 평행이동은 계전기 되먹임에서 자세히 다룬다. 백래시(기어 유격)도 이력형이라 복소 $N$ 을 가지는데, 크기가 기울기 이하로 줄면서 동시에 위상 지연이 붙고 진폭이 작을수록 지연이 커진다. 기계식 구동계에서 유격이 있는 축이 저진폭에서 유난히 잘 떠는 이유를 이 성질이 설명한다.¹

4. 한계주기 예측[편집]

기술함수를 넣은 되먹임계의 특성방정식은

1 + N(A)\,G(j\omega) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad G(j\omega) = -\frac{1}{N(A)}

이다. 좌변은 주파수의 함수로 복소평면에 그려지는 나이퀴스트 궤적이고, 우변은 진폭의 함수로 그려지는 또 하나의 궤적이다. 두 궤적이 만나면 그 교점에서 $(\omega^*, A^*)$ 가 동시에 읽힌다 — 교점을 지나는 $G$ 궤적의 주파수가 예측 진동수, $-1/N$ 궤적의 진폭이 예측 진폭이다. 선형계 안정성 판정에서 임계점이 고정된 $-1$ 이었던 자리를, 진폭에 따라 움직이는 임계점 궤적이 대신한 것이라고 보면 된다.

G(jω)=K/(jω(jω+1)(jω+2)) 궤적과 −1/N(A) 궤적의 교점을 선분교차로 풀어 한계주기 (A*, ω*) 를 예측하고, 같은 루프를 RK4로 시간적분해 얻은 실측 진폭·주파수와 나란히 놓는다. 이완(relay)에서는 오차가 K와 무관하게 진폭 +3.69%·주파수 −2.38% 로 고정되고, 포화에서는 K=7 의 +0.41% 에서 K=24 의 +3.15% 로 커진다 — 클리핑이 깊어질수록 1차 하모닉 근사가 손해를 본다.

이상 계전기라면 $-1/N(A) = -\pi A/(4d)$ 가 음의 실축을 따라 뻗는 반직선이라, 교점은 자동으로 위상 $-180^\circ$ 지점이다. 포화라면 $-1/N(A)$ 가 $-1/k$ 에서 출발해 $A$ 가 커질수록 음의 실축을 따라 왼쪽으로 간다. 그래서 선형 이득이 $k$ 인 폐루프가 이미 불안정한 경우(즉 $G$ 궤적이 $-1/k$ 의 왼쪽에서 실축을 지나는 경우)에만 교점이 생기고, 그때 계는 발산하는 대신 포화가 이득을 깎아 주는 진폭에서 진동에 정착한다. 불안정한 선형 설계가 실제로는 발산하지 않고 윙윙 떨기만 하는 흔한 현상의 정량적 설명이 이것이다.

교점이 없으면 극한 순환도 없다고 예측한다. 이 판정은 보수적인 쪽이 아니라 그냥 근사이므로, 뒤에서 볼 반례가 정확히 이 지점을 노린다.

5. 예측된 순환은 안정한가[편집]

교점을 찾았다고 끝이 아니다. 그 극한 순환이 관측되는 것인지(안정) 아니면 끌림 유역의 경계일 뿐인지(불안정)를 따로 봐야 한다. 판정은 섭동 논증으로 한다.

교점에서 진폭이 조금 커졌다고 하자. $-1/N(A)$ 점이 움직여 $G$ 궤적이 감싸는 영역(불안정 쪽) 바깥으로 나가면 진동이 감쇠해 진폭이 되돌아온다. 반대로 안쪽으로 들어가면 진폭이 더 커진다. 따라서

$A$ 를 키우는 방향으로 $-1/N(A)$ 궤적이 $G$ 의 불안정 영역을 빠져나가면 안정한 극한 순환, 들어가면 불안정한 극한 순환이다.

로에브 판정법(Loeb’s criterion)이라 부르는 이 규칙은 호프 분기에서 초임계·아임계를 가르는 논리와 정확히 같은 구조다. 실제로 이득을 파라미터로 놓고 교점의 생성·소멸을 추적하면 분기 이론의 분기도가 그대로 재현되며, 두 교점이 충돌해 사라지는 상황은 순환의 안장-마디 분기에 대응한다.

6. 가정이 깨질 때[편집]

저역통과 가정이 무너지는 경우. 가장 깔끔한 실패 사례가 순수 시간지연 $G(s) = Ke^{-Ls}$ 다. 지연은 크기를 전혀 깎지 않으므로 고조파가 하나도 걸러지지 않고, 계전기 출력의 구형파가 그대로 되돌아온다. 이때 주기 예측은 정확하지만 이득 예측은 $4/\pi \approx 1.27$ 배 어긋난다. 계산은 계전기 되먹임에 있다. 일반적으로 상대차수가 낮거나 지연이 지배적인 플랜트에서 기술함수법을 신뢰하면 안 된다.

있지도 않은 순환을 예측하거나, 있는 순환을 놓치는 경우. 기술함수법은 근사이므로 두 방향의 오류가 모두 가능하다. 이 방법이 주는 직관을 정리로 승격시키려는 시도가 실제로 있었는데 — 섹터 $[0, k]$ 안의 비선형성이라면 그 구간의 모든 선형 이득에 대해 안정한 것으로 충분하리라는 아이제르만 추측, 그리고 기울기로 조건을 건 칼만 추측 — 둘 다 거짓임이 반례로 밝혀졌다. 반례에는 기술함수법이 예측하지 못하는 극한 순환이 존재한다. 이 역사가 이 방법의 지위를 정확히 말해 준다. 좋은 도구지만 증명은 아니다.²

여러 개의 비선형 요소. 루프에 비선형성이 둘 이상 있으면 어느 지점의 신호를 정현파로 가정할지가 애매해지고, 직렬 결선의 기술함수를 곱하는 것은 근거가 없다. 실무에서는 지배적인 하나만 남기고 나머지를 무시하거나, 아예 수치 적분으로 넘어간다.

부분조화·카오스는 보이지 않는다. 기술함수법은 기본파에서 조화 평형을 맞추므로, 입력의 1/2·1/3 주파수로 응답하는 부분조화 진동이나 카오스적 거동은 원리적으로 예측 대상 밖이다. 반면 강제 진동의 도약 공진(jump resonance)은 진폭 의존 이득이 그대로 설명해 주므로 잘 맞는 축에 속한다.

검증은 결국 시간 적분이다. 룽게-쿠타법으로 실제 비선형 방정식을 돌려 예측 진폭·주파수를 대조하는 것이 표준 절차이며, 스위칭 요소가 있으면 이벤트 검출을 켜야 한다는 실무적 주의가 따라붙는다(검증 및 확인).

7. 확장과 현대적 위치[편집]

이중 입력 기술함수(DIDF). 직류 편향 + 정현파를 함께 넣어 $N(A, B)$ 를 구한다. 비대칭 비선형성이나 편향된 극한 순환을 다룰 때 필요하다. 비대칭 계전기 실험에서 공정 정상이득을 추가로 뽑는 절차가 이 확장에 기대고 있다.
랜덤 입력 기술함수. 정현파 대신 가우시안 신호를 넣어 최소자승 의미의 등가 이득을 구한다. 확률적 등가 선형화라 부르며, 랜덤 진동을 받는 비선형 구조물 해석에서 표준 도구다.
속도 제한기와 PIO. 액추에이터의 속도 제한은 정적 비선형성이 아니라 $N(A,\omega)$ 를 갖는 동적 요소로, 입력이 제한을 넘기 시작하면 크기를 깎으면서 상당한 위상 지연을 만든다. 조종면이 명령을 못 따라가는 순간 위상 여유가 통째로 사라지는 셈이며, 조종사 유발 진동의 고전적 원인으로 지목된다.
엄밀화. 미즈-버건(1975)은 조화 평형에 오차 상계를 붙여 “기술함수 해 근처에 진짜 주기해가 존재한다”는 조건을 제시했고, 이후 IQC 틀은 비선형 블록이 만족하는 적분 이차 제약으로 안정성을 증명한다. 기술함수법과 작은 이득 정리·수동성이 그 틀 안에서 각각 특정 승수를 고른 사례로 정리된다.
대안 경로. 계전기와 선형 플랜트로만 이루어진 계라면 주기해를 해석적으로 정확히 풀 수 있고(치프킨 방법·LPRS), 되먹임 선형화가 가능한 계라면 애초에 비선형성을 상쇄해 버리는 길도 있다.

8. 관련 문서[편집]

백래시의 닫힌 형태 $N(A)$ 는 젤브와 밴더벨데의 Multiple-Input Describing Functions and Nonlinear System Design(1968) 표에 정리되어 있다. 이 책은 반세기가 지나도록 기술함수 표의 사실상 유일한 사전 역할을 하고 있는데, 그만큼 이 분야에 새로 정리할 표가 남아 있지 않다는 뜻이기도 하다. ↩
아이제르만 추측은 1949년에 제기되어 플리스가, 칼만 추측은 1957년에 제기되어 피츠(1966) 등이 반례를 내놓으며 무너졌다. “선형으로 바꿔 생각해도 되지 않을까”라는 유혹이 얼마나 자연스럽고 동시에 얼마나 위험한지를 보여주는 사례로, 비선형 제어 강의 첫 주에 단골로 등장한다. ↩