스핀글라스

1. 개요[편집]

스핀글라스(spin glass)는 스핀 사이의 결합 상수 $J_{ij}$ 의 부호가 무작위로 고정되어 있어, 어떤 스핀 배열도 모든 결합을 동시에 만족시킬 수 없는 무질서·좌절(frustration) 계이자, 그 결과 자유에너지 지형이 지수적으로 많은 골짜기로 쪼개지는 물질 상태를 가리킨다. 실험적으로는 금에 철을 조금 섞은 AuFe 같은 희석 합금에서 처음 발견됐다 — 자화율이 어떤 온도에서 뾰족한 첨점(cusp)을 보이는데, 정작 중성자 산란으로 들여다보면 강자성체 같은 규칙적 자기 질서가 전혀 없다. 스핀 방향이 유리(glass)처럼 무작위로 “얼어붙은” 것이다.

이징 모형이 “모든 결합이 사이좋게 $+J$” 인 착한 세계라면, 스핀글라스는 여기에 $-J$ 를 무작위로 섞어 넣은 것뿐이다. 이 사소해 보이는 변경 하나로 계는 상전이 이론의 표준 도구가 전부 안 먹히는 괴물이 되고, 바닥상태를 찾는 문제는 NP-난해가 되며, 물리학이 아니라 최적화·신경망·부호이론으로 튀어나간다. 조르조 파리시가 이 문제에서 발견한 구조로 2021년 노벨 물리학상을 받았다.¹

2. 무질서와 좌절 — 왜 이게 어려운가[편집]

두 가지 개념을 먼저 구분해야 한다.

• 퀜치드(quenched) 무질서: $J_{ij}$ 가 한번 뽑히면 시뮬레이션 내내 고정이다. 스핀만 열적으로 움직인다. 물리량은 각 시료(realization)에서 열평균을 낸 뒤 시료 앙상블에 대해 평균한다. 즉 $\overline{\langle A \rangle}$, 그리고 자유에너지는 $-k_BT\,\overline{\ln Z}$ 다.
• 어닐드(annealed) 무질서: $J_{ij}$ 도 스핀과 함께 요동한다면 $-k_BT \ln \overline{Z}$ 로 계산하면 되고, 이건 그냥 자유도가 늘어난 보통 계다. 문제는 실제 합금이 퀜치드라는 것.

$\overline{\ln Z}$ 를 계산할 수 있는 표준 방법이 없다는 게 스핀글라스의 첫 번째 벽이다. 여기서 나온 꼼수가 복제 트릭(replica trick)이다.

$$\overline{\ln Z} = \lim_{n \to 0} \frac{\overline{Z^n} - 1}{n}$$

정수 $n$ 개의 동일한 복제본을 만들어 $\overline{Z^n}$ 을 계산한 뒤 $n \to 0$ 으로 해석적 연속을 하는, 수학자가 보면 기절할 조작이다. 놀랍게도 답이 맞는다.

두 번째 벽은 좌절이다. 정사각 격자의 한 플라케트(정사각형 하나) 둘레의 결합 곱

$$\Phi = J_{12}J_{23}J_{34}J_{41}$$

이 음수면 그 플라케트는 좌절되어 있다. 네 결합을 동시에 만족시키는 스핀 배열이 존재하지 않고, 최소한 하나는 반드시 “손해”를 봐야 한다. $\pm J$ 를 반반씩 뽑으면 $\Phi<0$ 일 확률이 정확히 $1/2$ 이므로, 격자의 절반이 좌절 상태다. 좌절된 플라케트끼리는 자기 마음대로 상쇄되지 않고 계 전체를 가로지르는 도메인 벽으로 이어져서, 바닥상태가 하나가 아니라 어마어마하게 많아진다.

3. 에드워즈-앤더슨 모형과 오더 파라미터[편집]

가장 표준적인 모형은 1975년 에드워즈-앤더슨(EA) 모형이다.

$$\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j \rangle} J_{ij}\, S_i S_j , \qquad S_i = \pm 1$$

최근접 이웃만 결합하되 $J_{ij}$ 는 $\pm J$ 이항 분포나 가우시안 분포에서 독립하게 뽑아 고정한다. 문제는 오더 파라미터다. 자화 $m = \overline{\langle S_i \rangle}$ 는 스핀 방향이 무작위라 저온에서도 0이다. 즉 “얼어붙었는데 자화는 0”인 상태를 잡아낼 지표가 필요하다. 에드워즈와 앤더슨의 답은 제곱을 먼저 하는 것이었다.

$$q_{\mathrm{EA}} = \overline{\langle S_i \rangle_T^{\,2}}$$

각 스핀이 시간 평균해서 특정 방향으로 치우쳐 있으면(=얼어붙었으면) 부호와 무관하게 $q_{\mathrm{EA}}>0$ 이다. 고온 상에서는 $\langle S_i \rangle_T = 0$ 이라 $q_{\mathrm{EA}}=0$. 수치적으로는 같은 $J_{ij}$ 를 공유하는 두 복제본 $\alpha,\beta$ 를 독립적으로 돌려 겹침(overlap)

$$q = \frac{1}{N}\sum_i S_i^\alpha S_i^\beta$$

의 분포 $P(q)$ 를 측정하는 게 국룰이다. $P(q)$ 의 모양이 뒤에 나올 이야기의 전부다.

차원 의존성은 사악하다. 2차원 $\pm J$ EA 모형은 유한 온도 스핀글라스 전이가 없다 — $T_{SG}=0$ 이다. 3차원에서야 $T_{SG} \approx 0.95\,J$ 정도의 진짜 전이가 나타난다. 2D에서 밤새 시뮬레이션 돌리고 “전이 온도가 안 잡혀요”라고 하는 건 코드 버그가 아니라 물리다.

4. SK 모형과 복제 대칭 깨짐[편집]

셰링턴-커크패트릭(SK) 모형은 EA의 평균장 판본이다. 모든 스핀 쌍이 결합하되, 세기를 $N$ 으로 스케일한다.

$$\mathcal{H} = -\sum_{i<j} J_{ij}S_iS_j, \qquad J_{ij} \sim \mathcal{N}\!\left(0,\ \frac{J^2}{N}\right)$$

셰링턴과 커크패트릭은 1975년 복제 트릭에 복제 대칭(모든 복제본 쌍의 겹침이 같은 값 $q$)을 가정해 풀었는데, $T \to 0$ 에서 엔트로피가 $-1/(2\pi)$ 라는 음수로 나왔다. 이산 스핀계에서 음의 엔트로피는 물리적으로 불가능하다. 즉 가정이 틀렸다는 뜻.

파리시가 1979~80년에 내놓은 해법이 복제 대칭 깨짐(Replica Symmetry Breaking, RSB)이다. 복제본을 하나의 값 $q$ 로 묶는 대신, 블록 안에 블록이 들어가는 계층 구조로 쪼갠다(무한 단계 RSB). 그 물리적 의미는 다음과 같다.

• 저온 상은 하나의 상이 아니라 지수적으로 많은 순수 상(pure state)으로 쪼개져 있다. 각 상은 자유에너지 장벽으로 분리된 골짜기다.
• 서로 다른 골짜기 사이의 겹침 $q$ 가 여러 값을 갖기 때문에 $P(q)$ 가 델타 함수 두 개가 아니라 연속적인 지지를 갖는다. 이게 RSB의 실험적/수치적 지문이다.
• 상태들 사이의 거리는 울트라메트릭(ultrametric)이다. 임의의 세 상태 $\alpha,\beta,\gamma$ 에 대해 $d_{\alpha\gamma} \le \max(d_{\alpha\beta}, d_{\beta\gamma})$ 가 성립한다. 즉 상태들이 계통수(dendrogram) 형태로 조직돼 있고, 삼각형은 항상 이등변이다.²

이 구조는 오랫동안 “수학이 아니라 마술”로 취급받았지만, 게라의 부등식과 탈라그랑의 2006년 증명으로 SK 모형에 대해서는 엄밀하게 확립됐다. 다만 유한 차원 EA 모형이 RSB 그림을 따르는지, 아니면 피셔-휴즈의 드롭릿(droplet) 그림(저온 상이 본질적으로 두 개, 시간 반전 쌍뿐)을 따르는지는 40년째 논쟁 중이다. 유한 크기 효과가 워낙 커서 수치 실험만으로 결판이 안 난다.

5. 거친 지형, 에이징, 그리고 느려짐[편집]

RSB가 말하는 “지수적으로 많은 골짜기”는 시뮬레이션 하는 사람에게는 곧 재앙이다.

• 임계적 느려짐을 넘어선 느려짐: 보통 상전이의 임계 감속은 $\tau \sim \xi^z$ 인 멱법칙이지만, 스핀글라스에서는 장벽 높이가 크기에 따라 자라서 완화 시간이 $\tau \sim \exp(\Delta/T)$ 로 지수적이다. 격자를 두 배 키우면 시간이 두 배가 아니라 지수배로 든다.
• 에이징(aging): 급랭 후 경과 시간 $t_w$ 에 따라 응답 함수가 달라진다. 상관 함수가 $C(t+t_w, t_w)$ 로 두 시간에 따로 의존하고 시간 병진 불변성이 깨진다. 요동-소산 정리도 위반된다. “언제 담금질했는지”를 계가 기억한다는 뜻이고, 실제 실험에서 기억(memory)·재활(rejuvenation) 효과로 관측된다.
• 그래서 스핀글라스는 담금질 모사와 병렬 템퍼링의 고향이 됐다. 후쿠시마-네모토가 1996년 병렬 템퍼링을 정식화한 동기가 정확히 EA 모형의 저온 표본추출이었다. 골짜기에서 빠져나오려면 온도를 올렸다 내렸다 하는 수밖에 없다.

6. 계산 문제로서의 스핀글라스[편집]

바라오나가 1982년에 보인 결과가 결정적이다. 3차원 격자(또는 자기장이 있는 평면 격자) 스핀글라스의 바닥상태를 찾는 문제는 NP-난해다. 반대로 자기장 없는 2D 평면 격자는 최소 가중치 완전 매칭으로 다항 시간에 풀린다. 이 경계선 덕분에 스핀글라스는 물리 문제인 동시에 조합 최적화의 표준 벤치마크가 됐다.

• 이징 해밀토니안은 QUBO(quadratic unconstrained binary optimization)와 선형 변환으로 동치라, 여행하는 외판원·그래프 분할·집합 커버 같은 문제를 전부 스핀글라스로 인코딩할 수 있다.
• 그래서 이징 머신(양자 어닐러, 결맞음 이징 머신, 디지털 어닐러) 업계는 성능 주장을 대부분 EA/SK 인스턴스로 한다. 문제는 이 벤치마크가 “쉬운 인스턴스”를 뽑기 쉬워서, 공정한 비교 설계 자체가 연구 주제라는 것.³
• 호프필드 신경망의 에너지 함수가 바로 EA 해밀토니안이고, 기억 용량 한계($\alpha_c \approx 0.138 N$)는 SK 계열의 복제 계산으로 유도됐다. 압축 센싱·부호이론·최적화 문제의 상전이 분석도 같은 도구를 쓴다. 통계물리가 지역 최적해 이야기를 최적화 커뮤니티보다 먼저 정량화한 셈이다.⁴

7. 관련 문서[편집]

• 이징 모형 · 상전이 · 퍼콜레이션
• 담금질 모사 · 병렬 템퍼링
• 지역 최적해 · 조합 최적화 · 이징 머신
• 몬테카를로 방법 · 랑주뱅 동역학
• 계산물리 · 통계

8. Footnotes[편집]

1. 2021년 노벨 물리학상은 파리시가 절반, 마나베 슈쿠로와 클라우스 하셀만이 나머지 절반을 나눠 받았다. 수상 사유가 “원자 규모에서 행성 규모까지 물리계의 무질서와 요동의 상호작용”이라, 스핀글라스와 기후 모형이 한 문장에 들어가는 진귀한 광경이 연출됐다. ↩

2. 울트라메트릭 공간에서는 모든 삼각형이 이등변이다. 익숙한 예가 생물 분류나 파일 경로 — “고양이와 개의 거리”가 “고양이와 참치의 거리”보다 가깝고, 공통 조상까지의 깊이만으로 거리가 결정된다. 저온 스핀글라스의 상태들이 딱 이런 계통수로 조직돼 있다는 게 파리시의 주장이었고, 처음 들은 사람들은 대부분 안 믿었다. ↩

3. 무작위 $\pm J$ 인스턴스는 의외로 쉬운 편이라, 벤치마크용으로는 위샤트 플랜티드(Wishart planted) 앙상블처럼 난이도를 조절할 수 있는 인스턴스를 쓴다. “우리 하드웨어가 시뮬레이티드 어닐링보다 1억 배 빠릅니다” 류의 발표를 볼 때는 어떤 인스턴스인지부터 확인하는 게 예의다. ↩

4. 좌절이라는 개념 자체는 이제 물리를 떠났다. 딥러닝 손실 지형의 안장점 구조를 논할 때 인용되는 논문들의 절반은 SK 모형 계열의 계산이다. 스핀 두 개 사이의 부호 하나가 이렇게 멀리 갈 줄 누가 알았겠나. ↩