앤더슨 국소화

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계산물리 양자역학 마지막 수정: 2026-08-02 04:23:11

1. 개요[편집]

앤더슨 국소화
Anderson Localization
원 논문P. W. Anderson (1958), Absence of Diffusion in Certain Random Lattices
원인무질서 산란 경로 사이의 결맞음 간섭
모형무질서 긴결합(tight-binding) 격자
제어 변수무질서 세기 W / 호핑 t
차원 의존성1D·2D 전부 국소화, 3D만 이동단 존재
3D 임계값Wc/t ≈ 16.5 (밴드 중심, 균등분포)

전자가 멈춘 이유가 “부딪혀서”가 아니라 “자기 자신과 간섭해서”라면, 그건 더 이상 수송 문제가 아니라 파동 문제다.

앤더슨 국소화(Anderson localization)는 무작위 퍼텐셜이 깔린 매질에서 파동의 고유상태가 공간적으로

∣ψ(r)∣∼exp⁡ ⁣(−∣r−r0∣ξ)\lvert \psi(\mathbf{r}) \rvert \sim \exp\!\left(-\frac{\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}_0 \rvert}{\xi}\right)

꼴로 지수적으로 갇혀 버려, 확산 수송이 느려지는 정도가 아니라 완전히 멈추는 현상이다. 1958년 앤더슨이 도핑된 반도체의 스핀 완화 실험을 설명하려다 발견했고, 1977년 노벨 물리학상의 근거가 됐다.

여기서 절대 헷갈리면 안 되는 지점이 있다. 국소화는 산란에 의한 감쇠가 아니다. 불순물이 파동을 흡수하거나 에너지를 빼앗는 게 아니라, 무작위 매질 안에서 가능한 모든 산란 경로의 진폭이 겹칠 때 되돌아오는 경로 쌍(시간 역행 짝)이 항상 같은 위상으로 보강되고, 앞으로 나아가는 경로들은 서로 랜덤한 위상이라 상쇄되기 때문이다. 즉 에너지는 전혀 잃지 않는데 움직이지 못한다. 이 논리에는 전자라는 조건이 어디에도 없으므로, 결맞음을 유지하는 파동이면 뭐든 겪는다 — 빛, 초음파, 물결파, 광격자 속 물질파까지 전부 실험으로 확인됐다.1

2. 앤더슨 모형[편집]

표준 무대는 격자 위 긴결합 해밀토니안이다.

H=∑iϵi ci†ci  −  t∑⟨ij⟩ci†cjH = \sum_i \epsilon_i\, c_i^\dagger c_i \;-\; t \sum_{\langle ij \rangle} c_i^\dagger c_j

깨끗한 격자(ϵi≡0\epsilon_i \equiv 0)라면 밴드 구조 계산의 블로흐 정리가 그대로 먹혀서 고유상태는 격자 전체에 퍼진 평면파고, 밴드 폭은 dd 차원에서 4dt4dt 다. 여기에 온사이트 에너지를 균등분포 ϵi∼U[−W/2, W/2]\epsilon_i \sim \mathcal{U}[-W/2,\,W/2] 로 무작위하게 흩뿌리면 병진 대칭이 깨지고 k\mathbf{k} 는 더 이상 좋은 양자수가 아니게 된다. 파라미터는 무차원 비 W/tW/t 하나뿐이며, 이 값 하나가 퍼진 상태와 갇힌 상태를 가른다.

주의할 점 하나. 상태밀도만 봐서는 국소화 여부를 알 수 없다. 무질서를 켜면 DOS는 밴드 꼬리가 생기며 부드럽게 뭉개질 뿐이고, 이동단을 지나는 순간에도 아무 특징이 없다. 국소화는 상태의 개수가 아니라 모양에 관한 것이라, 에너지만 세는 양으로는 잡히지 않는다. 모트가 이동단을 “DOS에는 안 보이는 선”이라고 부른 이유다.

3. 차원이 전부를 결정한다[편집]

이 주제의 핵심이자 처음 들으면 가장 안 믿기는 결론이다.

  • 1차원. 무질서가 아무리 약해도 모든 고유상태가 국소화된다. W→0W \to 0 이어도 마찬가지고, 다만 국소화 길이가 격자 크기보다 훨씬 길어져 유한 시료에서는 퍼진 것처럼 보일 뿐이다.
  • 2차원. 마찬가지로 임계 무질서가 없다. 국소화 길이가 ξ∼ℓ eπkFℓ/2\xi \sim \ell\,e^{\pi k_F \ell / 2} 처럼 지수적으로 커서 실측이 지옥일 뿐, 열역학적 극한에서는 절연체다.
  • 3차원. 여기서만 이동단(mobility edge) EcE_c 가 존재한다. 밴드 중심 쪽 상태는 퍼져 있고 꼬리 쪽 상태는 갇혀 있으며, 페르미 준위가 EcE_c 를 가로지르면 금속-절연체 전이(앤더슨 전이)가 일어난다. 무질서를 계속 키우면 이동단 두 개가 밴드 중심에서 만나 소멸하고 계 전체가 절연체가 된다. 균등분포 기준 그 임계값이 Wc/t≈16.5W_c/t \approx 16.5 다.

이 차원 분류를 통합한 것이 1979년 애브러햄스·앤더슨·리치아델로·라마크리슈난의 스케일링 이론이다. 흔히 “gang of four” 논문이라 불린다. 무차원 컨덕턴스 gg 하나가 계의 상태를 요약한다고 가정하고 베타 함수

β(g)=dln⁡gdln⁡L\beta(g) = \frac{d\ln g}{d\ln L}

를 그리면, g≫1g \gg 1 극한에서 옴 법칙이 β→d−2\beta \to d-2 를, g≪1g \ll 1 극한에서 지수적 국소화가 β→ln⁡g<0\beta \to \ln g < 0 을 준다. 두 극한을 단조 곡선으로 이으면 d≤2d \le 2 에서는 β\beta 가 항상 음수 — 계를 키울수록 컨덕턴스가 줄어드니 무조건 절연체 — 이고, d=3d=3 에서만 β\beta 가 0을 가로지르는 불안정 고정점이 생긴다. 그 고정점이 곧 앤더슨 전이다. 두 쪽 페이지짜리 논문 하나가 분야를 정리해 버린 사례.2

4. 국소화 길이의 스케일[편집]

1차원 약한 무질서 극한에서는 국소화 길이를 해석적으로 뽑을 수 있다. 밴드 중심(E=0E=0)에서

ξ  ≈  96 t2W2\xi \;\approx\; \frac{96\,t^2}{W^2}

이며, 격자 상수 단위다. 여기서 정확히 믿어야 할 것은 스케일과 W−2W^{-2} 경향이지 상수 96이 아니다. 이 값은 산란 위상이 무작위라는 가정 아래 나온 이차 섭동 결과이고, 하필 밴드 중심은 그 가정이 깨지는 특이점이라 실제 값은 약 10% 크다(캅푸스-베그너 이상). 밴드 중심을 벗어나면 ξ(E)≈96 t2sin⁡2k/W2\xi(E) \approx 96\,t^2\sin^2 k/W^2 처럼 밴드 가장자리로 갈수록 급격히 작아진다.3

실무적으로 중요한 건 W−2W^{-2} 라는 지수다. 무질서를 절반으로 줄이면 국소화 길이가 네 배가 되므로, 약한 무질서에서 국소화를 수치로 보려면 격자를 미친 듯이 키워야 한다. W=0.5tW = 0.5t 면 ξ∼400\xi \sim 400 사이트, W=0.1tW = 0.1t 면 ξ∼104\xi \sim 10^4 사이트다. “국소화가 안 보인다”는 보고의 대부분은 물리가 아니라 격자가 짧았던 것.

5. 수치적으로 어떻게 재나[편집]

국소화는 정의부터가 “고유상태의 공간적 모양”이라, 재는 방법도 여러 갈래다.

전달행렬 + 랴푸노프 지수. 1차원 슈뢰딩거 차분식 t(ψn+1+ψn−1)=(E−ϵn)ψnt(\psi_{n+1}+\psi_{n-1}) = (E-\epsilon_n)\psi_n 을 점화식으로 보면 한 스텝이 2×22\times2 행렬 곱이 되고, NN 개를 곱한 곱행렬의 최대 랴푸노프 지수 γ\gamma 가 곧 역국소화 길이 1/ξ1/\xi 다. 준1차원 막대(단면 M×MM \times M)로 확장하면 오셀레데츠 정리가 보장하는 스펙트럼 중 최소 지수가 그 막대의 국소화 길이를 준다.

여기서 반드시 필요한 것이 주기적 재직교화다. 전달행렬을 수백 번만 곱해도 모든 열벡터가 최대 지수 방향으로 정렬되면서 배정도 지수 범위를 넘겨 오버플로하고, 작은 지수들은 반올림 잡음에 묻혀 사라진다. 그래서 몇 스텝마다 QR 분해나 특이값 분해로 기저를 다시 직교정규화하고 로그 신장률만 누적한다. SVD를 쓰면 특잇값이 곧 각 방향의 신장 인자라 지수 스펙트럼이 바로 나오지만 비용이 비싸서, 보통 QR로 돌리고 검산할 때만 SVD를 쓴다.

유한크기 스케일링. 맥키넌-크레이머 방식으로 재규격화된 국소화 길이 ΛM=ξM/M\Lambda_M = \xi_M / M 을 여러 MM 에 대해 재면, 금속 쪽에서는 MM 이 클수록 커지고 절연체 쪽에서는 작아지며 임계점에서만 MM 에 무관하다. 이 교차점이 WcW_c 를 주고, 곡선들을 하나로 겹치는 스케일링 붕괴에서 임계지수 ν≈1.57\nu \approx 1.57 이 나온다.

참여 비율. 정규화된 고유상태에 대해 P=1/∑i∣ψi∣4P = 1/\sum_i \lvert\psi_i\rvert^4 는 “몇 개 사이트에 실제로 얹혀 있는가”를 센다. 퍼진 상태면 P∝NP \propto N, 국소화된 상태면 NN 과 무관한 상수다. 임계점에서는 P∝ND2/dP \propto N^{D_2/d} 로 어중간하게 커지는데, 이 다중프랙탈 성질이 앤더슨 전이의 지문이다.

준위 통계. 국소화된 상태들은 공간적으로 겹치지 않으니 서로 밀어내지 않아 에너지 준위 간격이 푸아송 분포를 따른다. 반대로 퍼진 상태들은 모두 겹쳐서 강한 준위 반발이 생기고 GOE 위그너-다이슨 분포가 나온다. 간격비 통계 ⟨r⟩\langle r \rangle 로 재면 각각 0.386과 0.531이라는 깔끔한 두 숫자가 나와서, 고유상태를 들여다보지 않고 고윳값만으로 판정할 수 있다. 요즘 다체 국소화 연구가 사실상 이 지표 하나로 굴러간다.

시간 발전. 파속을 하나 놓고 슈뢰딩거 방정식을 크랭크-니콜슨법으로 굴리는 접근도 있다. 케일리 형식이 유니터리라 노름이 기계 정밀도로 보존되고, 확산 폭 ⟨x2⟩\langle x^2 \rangle 이 포화하는지 계속 자라는지로 국소화를 직접 본다. 깨끗한 격자면 탄도적(∝t2\propto t^2), 고전적 무작위 산란이면 확산적(∝t\propto t), 앤더슨 국소화면 포화다.

1차원 앤더슨 격자에서 파속을 크랭크-니콜슨으로 유니터리 시간발전시킨다. 세로축이 로그라 지수 꼬리가 직선으로 보이고, 그 기울기를 최소제곱으로 회귀해 국소화 길이를 실측한다. W를 0으로 내리면 같은 코드가 탄도적으로 퍼져 아래 폭 곡선이 포화하지 않는다. 1차원 단일 시료라 시료마다 산포가 크며, 3차원 이동단은 이 격자에서 다루지 않는다.

6. 다른 무질서 문제와의 경계[편집]

무질서가 들어간다고 다 같은 이야기가 아니다.

  • 퍼콜레이션은 연결성의 문제다. 열린 통로가 하나라도 이어져 있으면 고전 입자는 통과한다. 앤더슨 국소화는 통로가 멀쩡히 다 열려 있어도 위상 간섭 때문에 못 가는 것이라, 원리가 완전히 다르다. 둘을 합친 양자 퍼콜레이션이 따로 연구 주제인 이유.
  • 스핀글라스는 무질서 + 상호작용 + 좌절이 만드는 다중 골짜기 자유에너지 지형 문제다. 앤더슨 모형은 상호작용이 아예 없는 단일입자 문제이고, 그런데도 수송이 죽는다는 게 요점이다. 상호작용을 다시 켜면 다체 국소화(MBL)라는 별개 전선이 열린다.
  • 와니에 함수와는 언어가 겹친다. 둘 다 “지수적으로 국소화된 상태”를 다루지만, 와니에 함수는 깨끗한 결정에서 게이지를 골라 인위적으로 만든 기저이고 앤더슨 국소화 상태는 무질서가 고유상태 자체를 그렇게 만들어 버린 것이다. 그래서 앤더슨 절연체를 다룰 때 와니에 유사 기저가 자연스러운 표현이 된다.

7. 관련 문서[편집]

8. Footnotes[편집]

  1. 그래서 이 분야 실험 논문 제목이 “빛의 앤더슨 국소화”, “소리의 앤더슨 국소화”, “물질파의 앤더슨 국소화” 식으로 무한 증식한다. 파동 종류만 갈아 끼우면 되니까. 1차원 초저온 원자 실험(2008)에서는 지수 꼬리를 로그 축에 직선으로 찍은 그림이 그대로 나와서, 이론가들이 50년 만에 교과서 그림을 사진으로 받아 본 셈이 됐다. ↩

  2. 정확히는 Phys. Rev. Lett. 42, 673 (1979). 네 사람이라 “gang of four”인데, 정작 이 별명은 논문에 안 나오고 이후 리뷰들이 붙였다. 스케일링 가설 자체는 증명이 아니라 가정이었고 나중에 장 이론적으로 뒷받침됐다는 점은 짚어 둘 만하다. ↩

  3. 96이라는 숫자를 외워 놓고 쓰다가 수치와 10% 안 맞아서 코드를 뒤지는 사람이 매년 나온다. 코드 잘못이 아니라 하필 밴드 중심을 골랐기 때문이다. E=0E = 0 은 격자의 대칭점이라 산란 위상이 무작위라는 전제가 깨지는 딱 그 지점이다. 검증하려면 E=0.5tE = 0.5t 쯤에서 재라. ↩