줄리아 집합

1. 개요[편집]

줄리아 집합 Julia set
사상	zn+1 = zn2 + c  (c 고정, z0 가 변수)
정의	Jc = ∂Kc (충전 줄리아 집합의 경계)
이분법	c ∈ M ⟺ 연결 / c ∉ M ⟺ 칸토어 먼지
자기유사	엄밀 자기유사(균질)
어원	가스통 쥘리아 (1918)

줄리아 집합(Julia set) $J_c$은 복소 이차 사상 $z \mapsto z^2 + c$에서 파라미터 $c$를 고정한 채 시작점 $z_0$를 복소평면 전체에 흩뿌려, 궤도가 발산하는 초기값과 유계로 남는 초기값을 가르는 경계다. 발산하지 않는 시작점 전체의 집합

$$K_c = \left\{\, z_0 \in \mathbb{C} \;:\; \sup_{n\ge 0}|z_n| < \infty \,\right\}, \qquad z_{n+1} = z_n^2 + c$$

를 충전 줄리아 집합(filled Julia set)이라 하고, 그 경계 $J_c = \partial K_c$가 좁은 의미의 줄리아 집합이다. 여기가 궤도의 운명이 뒤집히는 칼날 — 안쪽 점은 붙잡히고 바깥 점은 무한대로 달아나며, 경계 위의 점만이 어느 쪽에도 안착하지 못하고 영원히 카오스적으로 떠돈다.

핵심은 만델브로 집합과 무엇을 평면에 두느냐가 정반대라는 것이다. 만델브로는 $z_0 = 0$으로 고정하고 $c$-평면을 훑어 만든 파라미터 공간의 그림이고, 줄리아는 $c$를 고정하고 $z$-평면을 훑어 만든 위상공간의 그림이다. 그래서 만델브로 집합은 딱 하나뿐이지만 줄리아 집합은 $c$마다 하나씩, 말 그대로 무한히 많다. 만델브로가 “어떤 $c$에서 줄리아가 어떻게 생겼나”를 한 장에 요약한 색인이라는 관계는 만델브로 문서에서 다루니, 여기서는 $z$-평면 위의 개별 줄리아 집합 자체를 본다.

2. 탈출시간 — 만델브로와 같은 엔진, 다른 좌표[편집]

$J_c$를 화면에 띄우는 표준 방법은 만델브로와 똑같은 탈출시간 알고리즘이다. 각 픽셀을 시작점 $z_0$로 삼아 $z \mapsto z^2 + c$를 반복하다가 $|z|$가 문턱을 넘으면 그때까지의 반복 횟수를 색으로 칠하고, 상한까지 버티면 $K_c$ 소속으로 검게 남긴다. 문턱 2가 근사가 아니라 정리라는 것($|z_n|>2$이고 $|z_n|\ge|c|$이면 발산), 매끄러운 색을 위해 정규화 반복수 $\nu = n - \log_2\log_2|z_n|$를 쓴다는 것 모두 만델브로와 공유한다 — 증명은 삼각부등식 한 줄이고 만델브로 집합 문서에 있다.

차이는 딱 하나, 픽셀이 $z_0$냐 $c$냐다. 만델브로 렌더러의 이중 루프에서 안쪽 반복의 $+c$를 픽셀 좌표 대신 고정 상수로 바꾸고, 초기값 $z_0$를 0 대신 픽셀 좌표로 바꾸면 그대로 줄리아 렌더러가 된다. 그래서 두 그림은 코드 몇 줄 차이로 오간다.

3. 동물원 — c 하나가 그림 하나[편집]

$c$를 조금만 움직여도 $J_c$의 위상이 통째로 바뀐다. 대표적인 표본 몇 개만 봐도 이 사상의 표현력이 드러난다.

• $c = 0$: 단위원. $z\mapsto z^2$은 반지름을 제곱하니, $|z_0|<1$이면 0으로, $>1$이면 무한대로 간다. 경계는 정확히 단위원 $|z|=1$이고, 그 위의 동역학은 각도를 두 배로 미는 배각 사상이다. 프랙탈이 아닌 유일한(자명한) 줄리아 집합.
• $c = -1$: 바실리카(basilica). 원이 찌그러져 무한히 많은 원판이 사슬처럼 이어 붙은 모양. $c=-1$은 주기 2 끌개를 가지므로 $K_c$ 내부가 두 색으로 번갈아 칠해진다.
• $c \approx -0.123 + 0.745i$: 두아디 토끼(Douady rabbit). 주기 3 끌개에 대응해, 세 갈래가 만나는 접합점이 프랙탈 전체에 자기유사하게 반복되는 “귀 달린 토끼”. 만델브로의 주기 3 구근 중심이 여기다.
• $c = i$: 덴드라이트(dendrite). 임계궤도 $0\to i\to i{-}1\to -i\to i{-}1\to\cdots$가 유한 스텝 뒤 불안정 주기궤도에 떨어지는 미시우레비치 점. $K_c$의 내부가 텅 비어 나뭇가지 같은 곡선만 남는다.
• $c = -2$: 선분. $J_c = K_c = [-2,\,2]$. 실수축 위 구간으로 붕괴하며, 그 위의 동역학은 로지스틱 사상 $r=4$와 켤레인 텐트 사상이다.

4. 이분법 — 연결 아니면 먼지[편집]

줄리아 집합에는 중간이 없다. 파투–쥘리아 이분법은 임계점 $z=0$의 궤도가 유계냐 아니냐 하나로 위상 전체를 결정한다.

$$c \in M \iff J_c \text{ 연결}, \qquad c \notin M \iff J_c \text{ 완전 비연결}$$

$c$가 만델브로 집합 안이면 임계궤도가 붙잡혀 $J_c$가 한 덩어리로 이어지고($K_c$가 양의 넓이를 갖는 살집 있는 집합이거나, 미시우레비치처럼 내부 없는 덴드라이트), $c$가 밖이면 임계궤도가 달아나면서 $K_c = J_c$가 완전 비연결한 점구름으로 부서진다. 이 점구름을 파투 먼지(Fatou dust) 또는 칸토어 먼지라 부른다 — 넓이 0, 내부 없음, 그러나 셀 수 없이 많은 점. 이분법의 근거(임계점 하나가 사상 전체의 운명을 쥔다는 정리)와 만델브로가 그 색인이 되는 이유는 만델브로 집합 문서에 있다. 여기서 강조할 점은 $c$를 $M$의 경계 근처에서 아주 조금만 밖으로 밀면, 방금까지 이어져 있던 예쁜 곡선이 순식간에 먼지로 폭발한다는 것이다.

5. 역반복 — 줄리아 집합을 직접 그리는 법[편집]

탈출시간은 $K_c$를 색칠하지만 경계 $J_c$ 자체를 직접 찍지는 않는다. $J_c$만 그리려면 역반복법(IIM, inverse iteration method)이 있다. 사상을 거꾸로 풀면

$$z_{n} = \pm\sqrt{z_{n+1} - c}$$

인데, 매 스텝 부호를 무작위로 골라 되짚어 가면 궤도가 $J_c$로 끌려 든다. 이유는 동역학의 방향성이다. 정방향 사상 $z^2+c$는 줄리아 집합 위에서 팽창적(도함수 크기 $>1$)이라 $J_c$가 밀어내는 반발자(repeller)인데, 방향을 뒤집으면 바로 그 팽창성이 수축성으로 변해 역궤도가 $J_c$로 수렴한다. 몇 번 버리고(과도 구간) 이후 점을 모두 찍으면 경계가 그려진다.

순진한 IIM은 $J_c$ 위 밀도가 심하게 불균일해 어떤 가지는 새까맣고 어떤 가지는 텅 비는 문제가 있어, 실무에서는 역궤도 나무를 균형 있게 펼치는 수정 역반복법(MIIM)이나, 정방향 도함수로 픽셀에서 경계까지의 거리를 추정해 얇은 곡선을 안티에일리어싱하는 거리 추정법(DEM)을 함께 쓴다. 어느 쪽이든 계산의 뿌리는 “정방향은 팽창, 역방향은 수축”이라는 한 문장이다.

6. 자기유사와 그 위의 동역학[편집]

만델브로 집합이 준자기유사(확대할 때마다 장식이 조금씩 다름)인 반면, 줄리아 집합은 엄밀 자기유사이자 균질(homogeneous)하다. $J_c$ 위의 임의의 두 점은 국소적으로 서로 사상되며, 어느 지점을 확대해도 통계적으로 같은 구조가 나온다. 이는 $J_c$가 단일 사상 $z^2+c$의 반복으로 스스로 재생되는 반복함수계적 대상이기 때문이다. $J_c = f(J_c) = f^{-1}(J_c)$ — 집합이 자기 자신의 상이자 역상이다.

경계 위의 동역학은 카오스다. 불안정 주기궤도가 $J_c$ 위에 조밀하게 박혀 있고, 실제로 $J_c$는 이 반발 주기점들의 폐포(closure)로 정의할 수도 있다. 이것이 카오스 이론의 세 조건(초기조건 민감성·위상적 추이성·주기궤도 조밀성)을 복소평면에서 그대로 실현한 그림이다. 반대로 여집합인 파투 집합(Fatou set)에서는 동역학이 얌전하다 — 끌개 유역, 초끌개, 혹은 회전만 하는 지겔 원판(Siegel disk, 무리회전수를 가진 $c$에서 나타나는, 사상이 정확히 무리각 회전으로 작용하는 안정 영역) 같은 규칙적 성분으로 채워진다.

7. 관련 문서[편집]

• 만델브로 집합 · 프랙탈 · 반복함수계
• 로지스틱 사상 · 텐트 사상 · 카오스 이론
• 동역학계 · 파이겐바움 상수
• 컴퓨터 그래픽스 · 병렬 컴퓨팅