형상함수

1. 개요[편집]

형상함수(shape function)는 유한요소법에서 요소의 절점(node)에 정의된 이산적인 값을, 요소 내부의 연속적인 장(field)으로 이어 주는 보간 기저함수다. 절점 변위나 절점 온도처럼 “점에서만” 아는 값을 요소 내부의 “모든 점”으로 퍼뜨리는 규칙이라고 보면 된다. 흔히 $N_i(\xi,\eta)$로 쓰며, 요소 안의 미지장 $u$는 절점값 $u_i$의 가중합으로 표현된다.

$$u(\xi,\eta) = \sum_{i=1}^{n} N_i(\xi,\eta)\, u_i$$

유한요소법 전체가 사실상 이 한 줄 위에 서 있다. 형상함수를 무엇으로 고르느냐가 요소의 정밀도, 수렴 속도, 심지어 잠김(locking) 같은 병리 현상까지 전부 결정한다. FEM을 “형상함수 고르기 게임”이라 불러도 크게 틀리지 않는다.¹

2. 정의와 기본 성질[편집]

형상함수가 되려면 아무 함수나 되는 게 아니라 두 가지 조건을 반드시 만족해야 한다.

• 크로네커 델타 성질(Kronecker delta property): 절점 $i$의 형상함수는 자기 절점에서 1, 다른 절점에서 0이다. 즉 $N_i(\mathbf{x}_j)=\delta_{ij}$. 이 덕분에 $\sum N_i u_i$가 절점 $j$에서 정확히 $u_j$를 돌려준다. 계수 $u_i$가 곧 절점의 물리값 그 자체가 되는, 대단히 편리한 성질.
• 분할의 통일성(partition of unity): 요소 내 어디서든 $\sum_i N_i = 1$. 이것이 보장돼야 강체 이동(rigid body motion)을 오차 없이 표현하고, 상수장을 정확히 재현한다. 이 조건이 깨지면 요소가 균일한 온도조차 못 그리는 사태가 벌어진다.

이 두 조건은 유한요소해가 격자를 가늘게 할 때 참해로 수렴하기 위한 최소 요건(완비성·적합성)의 핵심이기도 하다.

한 가지 더, 형상함수는 요소 경계에서 이웃 요소와 매끄럽게 이어져야 한다. 변위장을 다루는 표준 요소는 절점에서 값이 일치하는 $C^0$ 연속만 요구하지만, 판·쉘(plate/shell)처럼 2계 미분이 약형식에 들어가는 문제는 기울기까지 이어지는 $C^1$ 연속을 요구해 형상함수 설계가 훨씬 까다로워진다. 이 연속성 조건을 만족하지 못하는 요소를 억지로 쓰면 격자를 아무리 가늘게 해도 참해로 수렴하지 않는다. 그래서 요소 하나를 고를 때는 정밀도뿐 아니라 “이 형상함수가 이웃과 제대로 맞물리는가”를 늘 따져야 한다.

위 시뮬레이션에서 절점 하나의 값이 자기 hat 함수가 걸친 요소 안에서만 해에 기여하는 것이 형상함수의 국소 지지(local support)다. 이 성질 덕에 강성행렬이 희소행렬이 되고, 유한요소법이 대규모 문제로 확장될 수 있다. 유한요소법은 이 “잇기”를 요소마다 정해진 다항식으로 명시적으로 수행하는 것이다.

3. 형상함수의 종류[편집]

형상함수는 요소 형상과 다항식 차수에 따라 종류가 갈린다.

3.1. 선형(1차) 형상함수[편집]

가장 단순한 것은 절점값을 직선(2D에서는 평면)으로 잇는 1차 다항식이다. 1차원 2절점 요소에서는 자연좌표 $\xi\in[-1,1]$로

$$N_1 = \tfrac{1}{2}(1-\xi), \qquad N_2 = \tfrac{1}{2}(1+\xi)$$

가 된다. 삼각형 요소에서는 면적좌표(barycentric coordinate), 사각형 요소에서는 $\tfrac{1}{4}(1\pm\xi)(1\pm\eta)$ 꼴의 겹선형(bilinear) 형상함수가 표준이다. 구현이 쉽고 튼튼하지만 요소 내 변형률이 상수라 곡률이 큰 문제엔 격자를 많이 넣어야 한다.

3.2. 고차 형상함수[편집]

절점을 변 중앙이나 내부에 추가해 2차·3차 다항식을 쓰면, 요소 하나가 곡면을 훨씬 잘 근사한다. 라그랑주(Lagrange) 요소와 세렌디피티(serendipity) 요소가 대표적이며, 같은 정밀도를 적은 요소 수로 달성할 수 있다. 대신 절점·적분점이 늘어 요소당 비용이 커지고, 형상함수의 절단오차 차수와 적분 정확도를 맞춰 주어야 한다.

4. 등매개 요소와 자코비안[편집]

실전 격자의 요소는 반듯한 정사각형이 아니라 찌그러진 사각형·육면체다. 이걸 매번 다른 좌표에서 적분하려면 골치 아프다. 그래서 등장한 것이 **등매개 요소(isoparametric element)**다. 핵심 아이디어는 물리 좌표 $\mathbf{x}$의 매핑에도 미지장과 똑같은 형상함수를 쓴다는 것.

$$\mathbf{x}(\xi,\eta) = \sum_{i} N_i(\xi,\eta)\, \mathbf{x}_i$$

이렇게 하면 어떻게 생긴 요소든 모두 표준 참조요소(reference element, $\xi,\eta\in[-1,1]$)에서 계산할 수 있다. 참조좌표와 물리좌표를 잇는 미분 관계가 자코비안 행렬 $\mathbf{J}=\partial\mathbf{x}/\partial\boldsymbol{\xi}$이고, 변형률을 구할 때 필요한 물리좌표 미분은 $\mathbf{J}^{-1}$로 변환한다. 요소가 너무 찌그러져 자코비안 행렬식이 0에 가까워지거나 음수가 되면 그 요소는 뒤집힌 것으로, 해석이 발산하거나 쓰레기 결과를 낸다.² 격자 품질 검사가 자코비안을 째려보는 이유다.

5. 가우스 적분과 강성행렬 조립[편집]

형상함수로 표현한 미지장을 약형식(weak form)에 넣으면 요소마다 적분을 해야 한다. 예를 들어 요소 강성행렬은 개념적으로

$$\mathbf{K}^e = \int_{\Omega^e} \mathbf{B}^\mathsf{T}\, \mathbf{D}\, \mathbf{B}\; d\Omega$$

꼴이다. 여기서 $\mathbf{B}$는 형상함수의 미분(변형률-변위 행렬), $\mathbf{D}$는 재료 물성 행렬. 이 적분을 참조요소로 옮기면 자코비안 행렬식 $\det\mathbf{J}$가 부피 요소로 곱해져 들어온다.

이 적분을 손으로 풀 수는 없으니 **가우스 구적법(Gauss quadrature)**으로 수치 적분한다. 형상함수가 $p$차 다항식이면 적분 대상은 대략 $2p$차라, 이를 정확히 적분할 만큼의 가우스 점을 배치하는 것이 원칙이다. 재미있는 건, 원칙보다 적은 점을 쓰는 **감소 적분(reduced integration)**이 오히려 잠김을 완화하기도 한다는 것³ — 대신 모래시계 모드(hourglass mode)라는 가짜 변형이 딸려 온다. 완전 적분과 감소 적분 사이의 줄타기가 요소 설계의 오랜 주제다.

요소별로 뽑은 $\mathbf{K}^e$를 공유 절점을 기준으로 전역 강성행렬 $\mathbf{K}$에 더해 넣는 과정을 **조립(assembly)**이라 하고, 여기까지 오면 문제는 $\mathbf{K}\mathbf{u}=\mathbf{f}$라는 하나의 큰 선형계로 정리된다. 결국 형상함수는 이 전 과정에서 “장을 어떻게 근사할지”를 처음부터 끝까지 규정하는 원천이다.

6. 관련 문서[편집]

• 유한요소법 · 강성행렬
• 요소 잠김 · 감소 적분과 모래시계 제어
• 열전달 해석
• 절단오차
• 구면조화 함수

7. Footnotes[편집]

1. 실제로 새 요소를 만드는 연구의 상당수가 “형상함수를 어떻게 손볼까”에 관한 것이다. 비적합(incompatible mode) 요소, 강화 변형률(enhanced strain) 요소, 무요소법(meshless)의 이동최소제곱 기저까지, 죄다 기존 형상함수의 약점을 때우려는 변주다. ↩

2. 뒤집힌 요소는 “음의 자코비안”이라는 에러 메시지로 존재를 알린다. 초보자가 자동 격자 생성을 믿고 돌렸다가 이 메시지를 보고 좌절하는 것이 FEM 입문의 통과의례. 대개 범인은 형상이 나쁜 몇 개 요소이고, 격자를 다듬으면 해결된다. ↩

3. 감소 적분은 “적분을 대충 하면 더 잘 맞는다”는, 처음 들으면 사기 같은 이야기다. 완전 적분 요소가 너무 뻣뻣하게(과잉 강성) 굴어 잠기는 문제를 적분점을 줄여 인위적으로 물렁하게 만들어 상쇄하는 것. 두 개의 오차가 서로를 잡아먹는 셈인데, 공학은 원래 이런 절묘한 균형으로 돌아간다. ↩