오일러-라그랑주 방정식

수치해석 물리 마지막 수정: 2026-08-28 04:12:41

상위 문서: 변분법

1. 개요[편집]

오일러-라그랑주 방정식 Euler–Lagrange Equation
대상	범함수 $J[y]=\int_a^b L(x,y,y')\,dx$ 의 정류점
방정식	$\dfrac{\partial L}{\partial y}-\dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{\partial L}{\partial y'}\right)=0$
성격	정류조건 — 필요조건이지 충분조건이 아니다
차수	일반적으로 $y$ 에 대한 2계 ODE (고계 라그랑지언이면 $2m$ 계)
부산물	자연 경계조건 $\partial L/\partial y'=0$ · 벨트라미 항등식
동치 표현	1차 변분 $\delta J=0$ = 약형식 = 갤러킨 직교조건

미적분의 $f'(x)=0$ 을 무한 차원으로 옮겨 적은 것. 그런데 옮겨 적는 순간 미분방정식이 된다.

오일러-라그랑주 방정식(Euler–Lagrange equation)은 범함수 $J[y]=\int_a^b L(x,y,y')\,dx$ 를 정류값으로 만드는 함수 $y(x)$ 가 반드시 만족해야 하는 미분방정식

\frac{\partial L}{\partial y} \;-\; \frac{d}{dx}\!\left(\frac{\partial L}{\partial y'}\right) \;=\; 0

이다. 오일러가 1744년 『극대·극소의 성질을 갖는 곡선을 찾는 방법』에서 기하학적 논증으로 얻었고, 열아홉 살의 라그랑주가 1755년 오일러에게 보낸 편지에서 $\delta$ 기호를 쓴 대수적 유도를 제시하면서 지금의 형태로 정리됐다.¹

변분법 문서가 이 분야의 역사와 최소작용 원리·유한요소법과의 관계를 넓게 훑으므로, 여기서는 겹치지 않는 쪽 — 방정식 자체의 유도 기계와 확장(다변수·고계·구속), 그리고 이 식이 시뮬레이션 코드 안에서 실제로 어떤 모습으로 나타나는가 — 에 집중한다. 결론부터 말하면 심위키에 있는 상당수 문서가 이 식 하나의 변주다. 보 이론의 4계 방정식도, 유한요소법의 약형식도, 전변분 잡음제거의 흐름 방정식도, 활성 윤곽선의 뱀이 꿈틀거리는 이유도 전부 EL 식이다.

2. 유도 — 기본 보조정리가 전부다[편집]

정류점 후보 $y(x)$ 에 양 끝이 묶인 임의의 교란 $\eta(x)$ ( $\eta(a)=\eta(b)=0$ )를 얹어 $y_\varepsilon = y + \varepsilon\eta$ 로 두고 $\varepsilon$ 으로 미분한다.

\delta J[y;\eta] \;=\; \left.\frac{d}{d\varepsilon}J[y+\varepsilon\eta]\right|_{\varepsilon=0} \;=\; \int_a^b\left(\frac{\partial L}{\partial y}\,\eta + \frac{\partial L}{\partial y'}\,\eta'\right)dx

둘째 항을 부분적분하면

\delta J \;=\; \int_a^b\left(\frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}\right)\eta\,dx \;+\; \left[\frac{\partial L}{\partial y'}\,\eta\right]_a^b

가 된다. 경계항은 $\eta$ 가 끝에서 0이므로 사라지고, 남은 적분이 모든 $\eta$ 에 대해 0이어야 한다. 여기서 마지막 한 걸음을 밟아 주는 것이 변분법의 기본 보조정리다.

연속함수 $M(x)$ 에 대해 $\int_a^b M(x)\eta(x)\,dx = 0$ 이 $\eta(a)=\eta(b)=0$ 인 모든 매끄러운 $\eta$ 에 대해 성립하면 $M \equiv 0$ 이다.

증명은 반증법 한 줄이다. 어딘가 $M(x_0)>0$ 이면 연속성에 의해 $x_0$ 주변 구간에서 계속 양수이고, 그 구간에만 받침을 갖는 양수 범프 함수를 $\eta$ 로 고르면 적분이 양수가 되어 모순이다. 요컨대 “임의의 시험함수에 직교하면 0이다” 라는 이 한 줄이 무한 차원의 $f'=0$ 을 유한한 미분방정식으로 바꿔 준다. 이름을 붙이자면 이건 변분법의 기본정리라기보다 약형식을 강형식으로 되돌리는 환전소다. 뒤집어 읽으면 “EL 식을 만족한다 ⟺ 모든 시험함수에 대해 약형식이 성립한다”이고, 이 뒤집어 읽기가 곧 갤러킨 방법의 출발점이다.

주의할 점 하나. 위 유도는 $\partial L/\partial y'$ 가 미분 가능하다고 가정하고 $d/dx$ 를 씌웠다. 그 가정이 불안한 문제에서는 부분적분을 반대로 해서 얻는 뒤부아-레몽 형태

\frac{\partial L}{\partial y'} \;=\; \int_a^x \frac{\partial L}{\partial y}\,d\xi \;+\; C

를 쓴다. 미분 대신 적분만 있으므로 해의 매끄러움을 덜 요구하고, 코너(꺾인 해)를 다루는 바이어슈트라스-에르드만 조건도 여기서 나온다.

3. 자연 경계조건이 공짜로 나온다[편집]

위 유도에서 경계항 $[\,L_{y'}\eta\,]_a^b$ 를 ” $\eta$ 가 0이니까 사라진다”고 넘겼는데, 끝점 $y(b)$ 를 고정하지 않으면 이야기가 달라진다. 그때는 $\eta(b)$ 가 자유이므로 적분항과 경계항이 각각 0이어야 하고, 결과는

\left.\frac{\partial L}{\partial y'}\right|_{x=b} = 0

이다. 이것이 자연 경계조건(natural boundary condition)이다. 사람이 따로 부과한 것이 아니라 범함수가 스스로 뱉어낸 조건이라 이 이름이 붙었다.

이 구분이 유한요소 하는 사람에게 익숙한 그 구분이다. 시행함수 공간에 강제로 넣어야 하는 조건이 필수(essential) 경계조건(변위·온도 지정, 디리클레), 약형식에 저절로 딸려 나와 아무것도 안 하면 자동으로 만족되는 조건이 자연 경계조건(하중·열유속 지정, 노이만)이다. FEM 코드에서 “노이만 조건은 그냥 우변 벡터에 넣고 아무 데도 손 안 대면 된다”는 국룰의 뿌리가 바로 이 경계항이다. 반대로 디리클레 조건을 빼먹으면 강성행렬이 특이해지는데, 그것도 같은 이야기다 — 아무 조건도 안 걸면 자연 조건만 남고, 순수 노이만 문제는 상수만큼의 자유도가 남으니까.

4. 확장 — 다변수, 고계, 구속[편집]

여러 미지함수. $L(x, y_1,\dots,y_n, y_1',\dots,y_n')$ 이면 각 $y_k$ 를 독립으로 교란해 $n$ 개의 방정식을 얻는다. 라그랑주 역학의 일반화 좌표 $q_k$ 가 이 경우다.

여러 독립변수(장 이론). $J[u]=\int_\Omega L(\mathbf{x}, u, \nabla u)\,d\Omega$ 이면 부분적분이 발산정리로 바뀌어

\frac{\partial L}{\partial u} \;-\; \nabla\cdot\left(\frac{\partial L}{\partial \nabla u}\right) \;=\; 0 \quad\text{in }\Omega, \qquad \frac{\partial L}{\partial \nabla u}\cdot\mathbf{n} = 0 \quad\text{on }\partial\Omega_N

고계 도함수. $L(x,y,y',y'')$ 이면 부분적분을 두 번 해서

\frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'} + \frac{d^2}{dx^2}\frac{\partial L}{\partial y''} = 0

부호가 번갈아 붙는 것이 규칙이고, $m$ 계까지 있으면 $\sum_{k=0}^{m}(-1)^k \frac{d^k}{dx^k}\frac{\partial L}{\partial y^{(k)}}=0$ 로 $2m$ 계 방정식이 된다. 대표 사례가 오일러-베르누이 보다. 변형에너지 빼기 외력일

\Pi[y] = \int_0^\ell \left(\tfrac12 EI\,(y'')^2 - q\,y\right)dx \quad\Longrightarrow\quad \bigl(EI\,y''\bigr)'' = q

균일 단면이면 그 유명한 $EI\,y''''=q$ 다. 그리고 이때 경계항이 두 개 나오는데, 각각 $EI y'' = M$ (굽힘모멘트)과 $-(EIy'')' = V$ (전단력)이다. 자유단에서 $M=V=0$ 이라는 조건이 손으로 부과한 물리가 아니라 범함수의 경계항 그 자체라는 사실은 보 이론을 처음 변분으로 다시 볼 때 가장 인상적인 대목이다. 4계 방정식이므로 요소 형상함수도 $C^1$ 연속(에르미트 3차)이 필요해지고, 이게 보·판 요소가 일반 연속체 요소보다 성가신 근본 이유다.

구속. 두 종류를 구분한다.

등주형(적분) 구속 $K[y]=\int G\,dx = C$ : 상수 승수 하나를 도입해 $L^* = L + \lambda G$ 의 EL 식을 푼다. “둘레가 정해졌을 때 넓이 최대”가 원조이고, 미지수 $\lambda$ 는 구속식으로 결정한다.
점별(홀로노믹) 구속 $g(x,y,z)=0$ : 승수가 함수 $\lambda(x)$ 가 되어 $L^* = L + \lambda(x)g$ 를 쓴다. 라그랑주 승수법의 무한 차원 판본이고, 이때 $\lambda$ 는 구속력(반력)의 물리적 의미를 갖는다.

유한 차원에서 KKT 조건이 하던 일을 그대로 함수 공간으로 옮긴 것인데, 실제 계산에서 승수를 그대로 미지수로 두면 안장점 문제(혼합 정식화)가 되어 LBB 조건 같은 골치 아픈 것이 따라붙는다.² 비압축성 유동의 압력, 접촉 문제의 접촉압이 전부 이 $\lambda$ 다.

5. 벨트라미 항등식 — 라그랑지언에 $x$ 가 없을 때[편집]

$L$ 이 $x$ 를 명시적으로 포함하지 않으면( $\partial L/\partial x = 0$ ) EL 식의 1차 적분이 존재한다.

L - y'\frac{\partial L}{\partial y'} = \text{const}

유도는 세 줄이다. $\frac{d}{dx}\bigl(L - y'L_{y'}\bigr) = L_x + L_y y' + L_{y'}y'' - y''L_{y'} - y'\frac{d}{dx}L_{y'} = L_x + y'\bigl(L_y - \frac{d}{dx}L_{y'}\bigr)$ 이고, 괄호가 EL 식이라 0, 남은 것이 $L_x$ 이므로 $L_x=0$ 이면 좌변이 상수다.

이게 왜 중요한가. 2계 방정식이 1계로 내려간다. 그리고 이 항등식은 사실 뇌터 정리의 가장 단순한 사례다 — $x$ (역학이면 시간) 방향 평행이동 대칭성에 대응하는 보존량이 $y'L_{y'}-L$ , 즉 해밀토니안이다. 벨트라미 항등식은 “에너지 보존”을 변분의 언어로 적은 것에 지나지 않는다.

교과서 예제인 최속강하선(브라키스토크론)이 여기서 풀린다. 아래 방향을 $y$ 로 잡으면 강하 시간은

T[y] = \int_0^{x_1}\sqrt{\frac{1+y'^2}{2gy}}\;dx

이고 피적분함수에 $x$ 가 없다. 벨트라미를 적용해 정리하면 $y\,(1+y'^2) = C$ 라는 1계 방정식이 남고, $y = \tfrac{C}{2}(1-\cos\theta)$ 로 치환하면 사이클로이드가 나온다. EL 식을 직접 2계로 풀려고 덤비면 지저분한데 벨트라미로는 반 페이지다.³

6. 필요조건일 뿐이다[편집]

여기가 초심자가 가장 자주 미끄러지는 지점이다. EL 식은 정류조건이지 최소조건이 아니다. $f'(x)=0$ 이 극대·극소·변곡점을 구분하지 못하는 것과 똑같이, EL 식의 해는 최소일 수도 최대일 수도 안장점일 수도 있다. 판정에는 2차 변분이 필요하다.

\delta^2 J = \int_a^b \bigl(P\,\eta'^2 + Q\,\eta^2\bigr)dx, \qquad P = L_{y'y'},\quad Q = L_{yy} - \frac{d}{dx}L_{yy'}

여기서 나오는 조건이 셋이다. 르장드르 조건 $L_{y'y'}\ge 0$ (약한 최소의 필요조건), 야코비 조건(구간 안에 켤레점이 없을 것 — 켤레점을 지나면 최소성이 깨진다), 그리고 강한 최소를 위한 바이어슈트라스 $E$ -함수 조건. 측지선을 생각하면 직관적이다. 구면 위 두 점을 잇는 대원 호는 둘 다 EL 식을 만족하지만, 짧은 쪽만 최소이고 긴 쪽은 최소가 아니다. 그 경계에 켤레점(대척점)이 있다.

시뮬레이션 실무에서 이게 문제되는 자리는 명확하다. 비볼록 범함수를 경사하강으로 내려보낸 결과는 국소 정류점일 뿐이다. 활성 윤곽선이 초기 곡선에 따라 다른 답을 주는 것도, 위상 최적화가 초기 밀도장과 필터 반경에 따라 다른 구조를 뱉는 것도 EL 식이 여러 해를 갖기 때문이다. “수렴했다”와 “최적이다”는 다른 말이다.

7. 약형식·최소포텐셜에너지·해밀턴 원리[편집]

세 개가 사실 한 몸이라는 것이 시뮬레이션 쪽 핵심이다.

최소포텐셜에너지 원리. 탄성체의 총 포텐셜에너지 $\Pi[\mathbf u] = \tfrac12\int_\Omega \boldsymbol\varepsilon:\mathbb{C}:\boldsymbol\varepsilon\,d\Omega - \int_\Omega \mathbf b\cdot\mathbf u\,d\Omega - \int_{\partial\Omega_N}\mathbf t\cdot\mathbf u\,dS$ 의 EL 식이 평형방정식 $\nabla\cdot\boldsymbol\sigma + \mathbf b = 0$ 이고, 경계항이 응력 경계조건 $\boldsymbol\sigma\mathbf n = \mathbf t$ 다. 즉 구조해석의 지배방정식은 에너지 범함수의 정류조건이다. 재료가 선형탄성이면 $\Pi$ 는 볼록 이차형식이라 정류점이 유일한 전역 최소이고, 그래서 강성행렬이 대칭 양정치로 나온다. 반대로 좌굴·연화가 있으면 볼록성이 깨지고 그 순간 스냅스루와 다중해가 등장한다.

약형식. 위에서 봤듯 “EL 식 = 0” 과 “모든 시험함수에 대해 $\delta J=0$ ” 은 동치인데, 수치해석은 후자를 유한 차원으로 자른다. $u \approx \sum_j u_j\phi_j$ 로 두고 $\eta$ 를 같은 기저에서 고르면 $\delta J=0$ 이 연립방정식 $\mathbf{K}\mathbf{u}=\mathbf{f}$ 가 된다. 이게 유한요소법의 전부다. 약형식을 쓰는 실질적 이득은 미분 차수가 절반으로 내려간다는 것 — 강형식이 2계를 요구하는 곳에서 약형식은 1계 도함수만 요구하므로 $C^0$ 조각별 다항식으로 충분해진다. 부분적분 한 번으로 요구 매끄러움을 절반으로 깎는 이 거래가 FEM이 성립하는 이유다.

해밀턴 원리. 동역학이면 $\int_{t_1}^{t_2}(T-V)\,dt$ 의 정류조건이 운동방정식이다(라그랑주 역학 참고). 여기에 해밀턴 원리를 이산화 단계에서 쓰면 변분 적분기가 되고, 이게 다음 절 주제다.

8. 이산화 후 미분 vs 미분 후 이산화[편집]

같은 문제를 푸는 두 순서가 있다. 연속 범함수를 먼저 변분해 EL 식(연속 PDE)을 얻고 그것을 이산화하는 미분 후 이산화(differentiate-then-discretize, 최적화 문맥에서는 optimize-then-discretize), 그리고 범함수를 먼저 이산화해 유한 차원 목적함수를 만든 뒤 그것을 미분하는 이산화 후 미분(discretize-then-optimize). 연속 세계에서는 두 순서가 같은 답을 주지만 이산 세계에서는 일반적으로 다르다. 차이는 이산화 오차 크기이고, 그래서 격자를 조이면 사라진다. 문제는 격자를 조이기 전까지의 그 차이가 종종 계산 전체를 망친다는 것.

두 진영의 손익이 뚜렷하다.

이산화 후 미분(이산 수반). 얻은 기울기는 실제로 코드가 계산하는 이산 목적함수의 정확한 기울기다. 그래서 유한차분 검증이 기계정밀도까지 맞고, 라인서치와 준뉴턴 갱신이 얌전히 작동한다. 자동 미분으로 기계적으로 만들 수 있다는 것도 큰 장점. 대신 이산화 스킴(제한자, 상류화, 난류모델 벽함수)의 온갖 분기와 비매끄러움이 그대로 기울기에 들어오고, 메모리·구현 비용이 크다.
미분 후 이산화(연속 수반). 수반 PDE가 물리적 의미를 갖고, 격자와 거의 무관한 매끄러운 기울기장이 나오며, 원 해석기와 같은 솔버 틀을 재사용할 수 있다. 대신 이산 목적함수의 기울기가 아니다. 불일치가 최적화 후반부의 수렴을 멈추게 하거나, 유한차분 검증이 몇 % 어긋나 사람을 몇 주 괴롭힌다.⁴ 형상 최적화·위상 최적화 실무에서 반복적으로 재현되는 함정이다.

이 순서 문제가 가장 예쁘게 드러나는 곳이 **변분 적분기**다. 작용적분을 먼저 이산화해 $S_d = \sum_k L_d(q_k,q_{k+1})$ 로 만들고 그 이산 작용에 변분을 취하면 이산 EL 식이 나오는데, 이 적분기는 심플렉틱 구조와 (뇌터 정리를 통해) 운동량 보존을 정확히 만족한다. 반대로 연속 EL 식을 먼저 유도하고 아무 룽게-쿠타로 이산화하면 그 구조가 깨져 에너지가 표류한다. 여기서는 “이산화 후 미분”이 명백한 승자다. 심플렉틱 적분기 문서가 다루는 장기 안정성의 뿌리가 이것이다.

교훈은 하나로 요약된다. 어느 쪽이 옳다가 아니라, 무엇을 정확히 보존하고 싶은지가 순서를 정한다. 목적함수의 기울기가 정확해야 하면 이산화를 먼저, 물리 구조(대칭성·보존량)를 지켜야 하면 이산 범함수를 만들고 변분을 나중에, 격자 독립적인 감도장을 보고 싶으면 연속 수반을 쓴다.

9. 영상처리의 흐름 방정식도 EL 식이다[편집]

컴퓨터 비전 논문에서 갑자기 튀어나오는 “evolution equation”들은 대개 EL 식에 인공 시간을 붙인 것이다. 범함수 $E[u]$ 의 정류조건 $\frac{\delta E}{\delta u}=0$ 을 직접 푸는 대신

\frac{\partial u}{\partial t} = -\frac{\delta E}{\delta u}

로 두고 정상 상태를 기다린다. 이것이 $L^2$ 경사하강 흐름이고, 함수 공간에서의 경사하강법이다.

전변분 잡음제거(ROF). $E[u]=\int|\nabla u| + \tfrac{\lambda}{2}\int(u-f)^2$ 의 EL 식은 $-\nabla\cdot\!\left(\frac{\nabla u}{|\nabla u|}\right) + \lambda(u-f) = 0$ 이다. 발산 안의 항은 등고선의 곡률이므로, 흐름 $u_t = \nabla\cdot(\nabla u/|\nabla u|) - \lambda(u-f)$ 는 “등고선을 곡률로 매끄럽게 하되 원본에서 너무 멀어지지 말라”는 뜻이 된다. $|\nabla u|=0$ 에서 미분 불가라는 것이 이 EL 식의 지병이고, $\sqrt{|\nabla u|^2+\varepsilon^2}$ 로 얼버무리거나 쌍대 정식화·교대방향 승수법으로 우회하는 이유가 그것이다.
활성 윤곽선. 곡선 에너지의 EL 식이 4계라 $v_t = (\alpha v')' - (\beta v'')'' - \nabla E_{\text{ext}}$ 라는 강성 방정식이 나오고, 그래서 반암시적 시간전진을 쓴다. 자세한 것은 그쪽 문서.
광학 흐름의 혼-슝크 모형. 자료항 + 매끄러움항 범함수의 EL 식은 두 개의 결합된 포아송형 방정식이고, 그래서 야코비 반복이나 다중격자법으로 푼다.
스케일 공간. 가우스 평활은 디리클레 에너지의 경사흐름, 즉 열방정식이다. 확산 계수를 $|\nabla u|$ 의 함수로 바꾸면 비선형 확산이 되는데, 그 경우 대응하는 범함수가 볼록하지 않아 잘못된 문제가 될 수 있다는 것이 페로나-말릭 모형의 유명한 논점이다.

즉 CFD·구조해석 하던 사람이 영상처리 논문을 읽을 때 필요한 사전은 두 줄이다. “energy functional”은 포텐셜에너지, “evolution equation”은 그 EL 식의 경사흐름. 그러면 그 논문이 왜 시간 스텝 제약을 이야기하는지, 왜 암시적 스킴을 쓰는지, 왜 격자 크기에 따라 결과가 변하는지가 전부 익숙한 이야기가 된다.

10. 관련 문서[편집]

오일러의 1744년 유도는 곡선을 유한 개의 절점으로 쪼개고 절점 하나를 흔들어 보는 방식이었다. 즉 오일러 본인이 이미 “이산화 후 미분”을 했다. 라그랑주의 $\delta$ -대수는 그 극한을 형식화한 것이고, 오일러는 젊은이의 방법이 자기 것보다 낫다며 자기 결과의 출판을 미뤄 라그랑주에게 우선권을 양보했다는 훈훈한 일화가 전해진다. 200년 뒤 변분 적분기가 오일러의 원래 방식으로 되돌아간 것은 꽤 재미있는 회귀다. ↩
승수 $\lambda$ 를 미지수로 같이 푸는 혼합 정식화는 강성행렬에 0 블록이 생겨 부정부호(indefinite)가 된다. 그래서 순진하게 켤레기울기법을 붙이면 안 돌아가고, 안장점 전용 전처리나 벌점법·증강 라그랑지언으로 우회한다. “왜 접촉 해석은 수렴이 안 되는가”의 절반은 이 구조 탓이다. ↩
여기서 시간 $T$ 를 최소화한다고 했지만 EL 식이 주는 것은 정류점이지 최소점이 아니다. 사이클로이드가 실제로 최소라는 것은 별도 논증이 필요하고(2차 변분이 양정치), 야코비 조건 때문에 사이클로이드의 첫 아치 안에서만 최소다. 아치를 넘어가면 켤레점이 나타나 최소성이 깨진다. 수업에서 “정답은 사이클로이드”까지만 배우고 넘어가는 그 뒷부분이다. ↩
연속 수반과 이산 수반이 다르다는 사실을 모르고 “수반법 기울기가 유한차분과 3% 다른데 버그인가요”라는 질문이 항공 CFD 커뮤니티에 몇 년 주기로 올라온다. 답은 대개 “버그가 아니라 순서 문제이고, 격자를 두 배 조이면 1.5%로 줄어들 것”이다. 물론 진짜 버그일 때도 있어서 더 헷갈린다. ↩