후크의 법칙

구조해석 고체역학 마지막 수정: 2026-07-14 04:35:52

1. 개요[편집]

후크의 법칙 Hooke's Law
분류	선형 탄성 구성방정식
제안	Robert Hooke (1678)
스칼라형	F = kx
텐서형	σ = C : ε
등방 상수	영률 E, 포아송비 ν, 전단탄성계수 G
유효 범위	선형 탄성 구간 (항복 이전)

후크의 법칙(Hooke’s law)은 탄성체에 가해진 힘(응력)과 그로 인한 변형(변형률)이 서로 정비례한다는 선형 탄성 구성방정식이다. 용수철에 매단 추가 두 배면 늘어남도 두 배라는, 스칼라 형태 $F=kx$ 로 누구나 아는 그 법칙이 맞다. 다만 이 친근한 표현은 3차원 연속체로 일반화되면 성분 81개짜리 4계 텐서 방정식으로 승천한다.

1678년 로버트 훅(Robert Hooke)이 라틴어 애너그램 *“ceiiinosssttuv”*로 발표한 뒤 풀어 쓴 문장이 “ut tensio, sic vis”(늘어남이 있는 만큼, 힘이 있다)이다.¹ 고체역학과 구조해석의 거의 모든 선형 해석이 이 법칙 위에 서 있으며, 유한요소법이 조립하는 강성행렬의 물성 부분이 바로 후크의 법칙을 이산화한 것이다.

2. 스칼라형에서 1차원 응력-변형률로[편집]

가장 익숙한 형태는 용수철 방정식이다.

F = kx

여기서 $k$ 는 용수철 상수다. 그런데 이 $k$ 는 재료 고유의 물성이 아니라 형상(길이·단면적)에 좌우되는 값이다. 재료 자체의 성질만 뽑아내려면 응력과 변형률로 옮겨야 한다. 단면적 $A$ , 길이 $L$ 인 봉을 생각하면 응력 $\sigma=F/A$ , 변형률 $\varepsilon=x/L$ 이고, 대입하면

\sigma = E\,\varepsilon

가 된다. 비례상수 $E$ 가 바로 영률(Young’s modulus) 또는 탄성계수다. 형상에 무관한 순수 재료 물성이며, 강철은 약 200 GPa, 알루미늄은 약 70 GPa, 고무는 수 MPa 수준으로 재료마다 천차만별이다. 용수철 상수와의 관계는 $k = EA/L$ . 즉 짧고 굵은 봉일수록 뻣뻣하다는 상식이 이 식 한 줄에 들어있다.

3. 등방 재료의 3차원 형태[편집]

현실의 구조물은 한 방향으로만 당겨지지 않는다. 3차원에서는 응력과 변형률이 각각 6개 독립성분을 갖는 텐서가 되고, 이들을 잇는 것이 일반화된 후크의 법칙이다. 방향에 따라 성질이 같은 등방(isotropic) 재료라면 놀랍게도 단 두 개의 독립 상수로 모든 것이 기술된다. 대표적으로 영률 $E$ 와 포아송비(Poisson’s ratio) $\nu$ 를 쓴다. 포아송비는 한 방향으로 당길 때 직각 방향이 얼마나 수축하는지의 비율로, 대부분의 금속에서 $0.3$ 근처다.

수직 성분에 대한 관계(예: $x$ 방향)는 세 축의 응력이 함께 기여한다.

\varepsilon_x = \frac{1}{E}\left[\sigma_x - \nu(\sigma_y + \sigma_z)\right]

전단 성분은 훨씬 단순해서, 전단응력과 전단변형률이 전단탄성계수(shear modulus) $G$ 로 직접 연결된다.

\tau_{xy} = G\,\gamma_{xy}

등방 재료에서 이 세 상수는 독립이 아니라 다음 관계로 묶여 있다. 즉 셋 중 둘만 알면 나머지는 자동으로 정해진다.

G = \frac{E}{2(1+\nu)}

여기에 정수압에 대한 저항을 나타내는 체적탄성계수(bulk modulus) $K=\dfrac{E}{3(1-2\nu)}$ 까지 더하면 등방 탄성의 상수 사인방이 완성된다. $\nu \to 0.5$ 면 $K\to\infty$ , 즉 부피가 변하지 않는 비압축성 극한이 되는데 고무가 이 근처라 수치해석에서 강성행렬이 병드는 체적 잠김(volumetric locking)의 원흉이 된다.²

4. 일반화된 텐서형과 강성텐서[편집]

가장 일반적인 형태에서 후크의 법칙은 응력 텐서 $\sigma_{ij}$ 와 변형률 텐서 $\varepsilon_{kl}$ 을 4계 강성텐서(stiffness tensor) $C_{ijkl}$ 로 잇는다.

\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}

강성텐서는 원래 $3^4=81$ 개 성분을 갖지만, 응력·변형률 텐서의 대칭성( $\sigma_{ij}=\sigma_{ji}$ )과 변형 에너지가 존재한다는 열역학적 요구(주대칭성)로 인해 독립성분이 최대 21개로 줄어든다. 이것이 결정 구조에 아무런 대칭도 없는 완전 이방성(triclinic) 재료의 상수 개수다. 재료가 대칭을 가질수록 이 숫자는 줄어든다.

재료 대칭	독립 탄성상수	예시
완전 이방성	21	저대칭 결정
직교이방성	9	목재, 복합재 적층판
횡등방성	5	일방향 섬유강화재
입방정	3	실리콘, 철 단결정
등방성	2	다결정 금속(거시적)

실무에서는 이 텐서를 6×6 행렬로 압축하는 **보이트 표기법(Voigt notation)**을 써서 $\{\sigma\}=[C]\{\varepsilon\}$ 형태로 다룬다. 복합재 해석에서 방향별로 다른 강성을 다루거나, 유한요소법에서 요소 강성을 조립할 때 등장하는 물성 행렬 $[C]$ (또는 그 역행렬인 컴플라이언스 행렬)가 전부 이 텐서형 후크의 법칙이다.

5. 적용 한계 — 언제 후크가 배신하는가[편집]

후크의 법칙은 어디까지나 선형 탄성 구간, 즉 재료가 항복하기 전까지만 성립하는 근사다. 응력-변형률 곡선이 직선을 유지하는 비례 한도(proportional limit)를 넘어서면 법칙은 급격히 어긋난다. 대표적인 이탈 사례들:

소성: 항복점을 넘으면 응력을 제거해도 영구 변형이 남는다. 여기서부터는 후크가 아니라 소성 유동 법칙의 세계다.
대변형·초탄성: 고무처럼 수백 % 늘어나는 재료는 응력-변형률이 심하게 비선형이라 무니-리블린 같은 초탄성 모델이 필요하다.
점탄성: 플라스틱·생체조직처럼 하중을 오래 걸면 시간에 따라 계속 변형(크리프)되는 재료는 시간 의존항이 붙는다.
온도 의존성: 영률 자체가 온도에 따라 변하며, 열팽창까지 겹치면 구성방정식이 복잡해진다.

그럼에도 대다수 공학 구조물이 정상 하중에서 탄성 구간 안에 머물도록 설계되기 때문에, 후크의 법칙은 구조해석의 압도적 주력 도구다. 모어 원으로 응력 상태를 뜯어보든, 폰 미제스 응력으로 항복을 예측하든, 그 출발점의 응력장은 대개 후크의 법칙으로 계산된 것이다.

6. 관련 문서[편집]

당시 과학자들은 발견을 먼저 해놓고 우선권은 챙기되 내용은 감추려고 애너그램으로 발표하는 게 유행이었다. 훅은 이 방식으로 몇 년간 정답을 숨겨 두었다. 요즘으로 치면 arXiv에 제목만 올리고 본문은 비공개로 둔 셈. ↩
포아송비가 0.5에 가까워지면 저차 요소가 부피 변화를 과도하게 억제해 구조물이 실제보다 훨씬 뻣뻣하게 계산된다. 이를 피하려고 선택적 축소적분, 혼합정식화(u–p) 같은 온갖 기법이 동원된다. 고무 해석이 유독 까다로운 이유의 절반이 여기 있다. ↩