모어 원

구조해석 고체역학 마지막 수정: 2026-07-14 04:28:15

1. 개요[편집]

모어 원 Mohr's Circle
분류	응력·변형률 상태의 도식 표현
제안	Christian Otto Mohr (1882)
대상	2D(평면) 응력·변형률 상태
핵심 산출	주응력, 최대 전단응력
기반 개념	응력과 변형률

모어 원(Mohr’s circle)은 한 점에서의 2차원 응력 상태를 좌표평면 위의 원 하나로 그려내는 도식적 표현법이다. 가로축에 수직응력 $\sigma$ , 세로축에 전단응력 $\tau$ 를 놓으면, 좌표축을 아무리 회전시켜도 그 점의 응력 상태는 언제나 같은 원 위를 돈다. 이 원 하나만 그리면 주응력, 최대 전단응력, 임의 방향 단면의 응력이 자와 컴퍼스만으로 튀어나온다.

1882년 독일의 토목공학자 크리스티안 오토 모어(Christian Otto Mohr)가 고안했다. 컴퓨터는커녕 계산기도 없던 시절, 응력 변환의 삼각함수 지옥을 기하학으로 우회한 발상이다. 유한요소법이 응력 텐서를 순식간에 토해내는 오늘날에도, 고체역학 첫 학기 학생의 머릿속에 응력 변환의 물리적 감각을 심는 교육 도구로서 여전히 현역이다.¹

2. 응력 변환식 — 원의 정체[편집]

한 점의 평면 응력 상태가 $\sigma_x$ , $\sigma_y$ , $\tau_{xy}$ 로 주어졌다고 하자. 좌표축을 각도 $\theta$ 만큼 회전시킨 새 축에서의 수직응력과 전단응력은 다음 변환식을 따른다.

\sigma_{x'} = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos 2\theta + \tau_{xy}\sin 2\theta

\tau_{x'y'} = -\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin 2\theta + \tau_{xy}\cos 2\theta

여기서 $\sigma_{\text{avg}} = (\sigma_x+\sigma_y)/2$ 와 $R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$ 를 정의하면, 위 두 식은 매개변수 $2\theta$ 로 표현된 원의 방정식이 된다.

(\sigma_{x'} - \sigma_{\text{avg}})^2 + \tau_{x'y'}^2 = R^2

즉 응력 변환식은 사실 중심이 $(\sigma_{\text{avg}}, 0)$ 이고 반지름이 $R$ 인 원 위의 점을 각도 $2\theta$ 로 훑는 것에 지나지 않는다. 실제 물리 공간에서 단면을 $\theta$ 돌리면 모어 원 위에서는 그 두 배인 $2\theta$ 만큼 도는 것이 이 도구의 가장 중요하고 가장 자주 헷갈리는 약속이다.²

3. 주응력과 최대 전단응력[편집]

원을 그리고 나면 핵심 정보가 기하학적으로 즉시 읽힌다.

주응력(principal stress): 원이 가로축( $\tau=0$ )과 만나는 두 점. 전단응력이 0이 되는 방향의 수직응력이며, 그 값은 최대·최소 수직응력이다.

\sigma_{1,2} = \sigma_{\text{avg}} \pm R = \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}

최대 전단응력(maximum shear stress): 원의 꼭대기와 바닥. 그 크기는 정확히 반지름 $R$ 과 같다. 주응력면에서 $45^\circ$ (모어 원에서는 $90^\circ$ ) 돌아간 방향에서 나타난다.

\tau_{\max} = R = \frac{\sigma_1 - \sigma_2}{2}

주응력 방향: 원의 중심에서 응력점 $(\sigma_x, -\tau_{xy})$ 까지 그은 반지름이 가로축과 이루는 각의 절반이 주축의 방향 $\theta_p$ 다.

$\tau_{\max}=(\sigma_1-\sigma_2)/2$ 라는 관계는 파괴 이론과 직결된다. 연성 금속의 항복을 예측하는 트레스카 항복 조건이 바로 이 최대 전단응력을 항복 조건으로 삼으며, 널리 쓰이는 폰 미제스 응력 기준과 함께 소성 해석의 양대 축을 이룬다.

4. 부호 규약 — 모두를 싸우게 만드는 것[편집]

모어 원에서 수직응력은 인장을 양(오른쪽)으로 두는 데 이견이 없다. 문제는 전단응력의 부호다. 물리 공간에서의 회전 방향과 모어 원에서의 회전 방향을 일치시키기 위해, 많은 교재가 **“단면을 시계방향으로 돌리려는 전단응력을 세로축 위쪽(양)“**으로 그리는 규약을 쓴다. 그런데 다른 교재는 정반대로 그린다. 그 결과 모어 원은 세로축 부호를 놓고 학생과 조교가 매 학기 성전(聖戰)을 벌이는 성지가 되었다.³

실전 팁: 부호 규약이 무엇이든 주응력 값, 최대 전단응력 크기, 두 주축이 서로 $90^\circ$ 라는 사실은 절대 안 바뀐다. 헷갈리면 부호에 매달리지 말고 크기와 상대 각도부터 확정하는 게 정신 건강에 이롭다.

5. 3차원 확장과 현대적 위상[편집]

응력은 본래 3차원 텐서라 주응력이 $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$ 세 개다. 3차원 모어 원은 이 세 값을 지름으로 하는 큰 원 하나와 작은 원 두 개로 그려지며, 임의 단면의 응력 상태는 이 세 원이 감싸는 초승달 모양 영역 안에 갇힌다. 여기서 절대 최대 전단응력은 가장 큰 원의 반지름, 즉

\tau_{\max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}

으로, 가장 큰 주응력과 가장 작은 주응력만이 결정한다. 중간 주응력 $\sigma_2$ 는 최대 전단에 관여하지 않는다는 이 사실이 트레스카 기준의 근거다.

연속체역학과 응력과 변형률을 텐서로 배우고 나면 모어 원은 사실 대칭 텐서의 고윳값 문제를 시각화한 것임을 알게 된다. 실무 계산은 유한요소법이 다 해주지만, 결과로 나온 응력 텐서가 물리적으로 말이 되는지 손으로 검산할 때 모어 원만큼 직관적인 도구가 없다. 응력·변형률뿐 아니라 관성 모멘트 등 모든 2차 대칭 텐서에 똑같이 적용된다는 점도 이 도구의 숨은 범용성이다.

6. 관련 문서[편집]

손으로 원을 그려 응력을 구하는 능력은 실무에서 딱히 안 쓴다. 그런데도 안 가르치면 학생이 응력을 그냥 숫자 여섯 개로만 인식하게 된다는 게 교육자들의 항변이다. 결국 “감각을 위해 배우는 도구”. ↩
“물리 공간 $\theta$ = 모어 원 $2\theta$ ” 이 두 배 규칙을 놓쳐서 각도를 절반 혹은 두 배로 틀리는 게 모어 원 시험 오답의 8할이다. 나머지 2할은 다음 각주의 그것. ↩
세로축을 위가 양이냐 아래가 양이냐. 이 사소한 규약 차이 때문에 두 사람이 같은 응력 상태를 두고 서로 “네 그림이 뒤집혔다”고 우기는 광경은 재료역학 강의실의 유서 깊은 풍경이다. ↩