마하수

유체역학 전산유체역학 마지막 수정: 2026-08-22 04:26:15

1. 개요[편집]

마하수 Mach number
기호	M (또는 Ma)
정의	유속 / 국소 음속
이름	Ernst Mach (1838~1916)
명명	Jakob Ackeret (1929)
물리적 의미	운동에너지 대 내부에너지 = 압축성의 세기
해수면 표준대기 음속	340.3 m/s (288.15 K)

마하수는 “얼마나 빠른가”를 재는 수가 아니다. 정보가 유체 속을 도는 속도보다 유체가 얼마나 앞서 가는가를 재는 수다.

마하수(Mach number, $M$ )는 유동의 국소 속도 $u$ 를 그 지점의 음속 $a$ 로 나눈 무차원수다.

M = \frac{u}{a}

레이놀즈수가 관성 대 점성이라면, 마하수는 관성 대 탄성이다. 압력 교란은 음속으로 퍼지므로 $M$ 은 “유체 덩이가 앞에 뭐가 있는지 미리 알 수 있는가”를 판정하고, 동시에 밀도가 얼마나 변할 것인가를 통보한다. 지배 방정식이 타원형이냐 쌍곡형이냐, 압축성 유동으로 풀어야 하느냐 비압축 근사로 때워도 되느냐, 압력을 미지수로 놓고 풀어야 하느냐 상태방정식으로 뽑아 쓸 것이냐 — CFD 세팅 화면에서 눌러야 할 버튼의 절반이 이 숫자 하나로 결정된다.

이 문서는 마하수라는 파라미터 자체를 다룬다. 각 영역의 물리는 압축성 유동·초음속 유동·극초음속 유동이, 1차원 등엔트로피 관계식은 기체동역학이 소스 오브 트루스다.

2. 음속이라는 분모[편집]

음속의 열역학적 정의는 등엔트로피 압축률이다.

a^2 = \left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_s

이상기체 $p = \rho R T$ 에 등엔트로피 관계 $p \rho^{-\gamma} = \text{const}$ 를 넣으면 그 유명한 형태가 나온다.

a = \sqrt{\gamma R T}

$\gamma$ 는 비열비(공기 1.4, 단원자 기체 5/3), $R$ 은 비기체상수(공기 287 J/kg·K), $T$ 는 절대온도다. 여기서 두 가지가 중요하다.

첫째, 음속은 오직 온도의 함수다. 압력이나 밀도가 아니다. 그래서 고도 11 km 성층권 하단(216.65 K)의 음속은 295 m/s로 해수면(340 m/s)보다 13% 낮고, 같은 대기속도로 날아도 마하수는 그만큼 높아진다. 여객기가 순항고도에서 마하 0.85로 나는데 지상 속도로는 900 km/h 남짓인 이유다.

둘째, $a^2 \sim RT \sim$ (분자 열운동 에너지)이므로 마하수 제곱은 결국

M^2 = \frac{u^2}{\gamma R T} \sim \frac{\text{유동의 운동에너지}}{\text{기체의 내부에너지}}

를 잰다. 마하수가 크다는 것은 유동의 운동에너지를 전부 열로 바꿨을 때 기체가 감당 못 할 만큼 뜨거워진다는 뜻이고, 극초음속에서 화학이 개입하는 근본 원인이 여기 있다. 실제로 정체온도는 $T_0/T = 1 + \frac{\gamma-1}{2}M^2$ 로, 마하 6이면 이미 정체온도가 자유류의 8.2배다.

3. 0.3이라는 숫자는 어디서 왔나[편집]

” $M < 0.3$ 이면 비압축성으로 봐도 된다”는 국룰의 출처는 등엔트로피 정체 관계식이다.

\frac{\rho_0}{\rho} = \left(1 + \frac{\gamma-1}{2}M^2\right)^{\frac{1}{\gamma-1}}

지수가 $1/(\gamma-1)$ 이라는 게 포인트다. 작은 $M$ 에서 이항 전개하면 $\gamma$ 가 깨끗하게 상쇄된다.

\frac{\rho_0}{\rho} \approx 1 + \frac{1}{\gamma-1}\cdot\frac{\gamma-1}{2}M^2 + \mathcal{O}(M^4) = 1 + \frac{M^2}{2} + \mathcal{O}(M^4)

즉 **밀도 변화율은 $\gamma$ 와 무관하게 대략 $M^2/2$ **다. 같은 결론을 베르누이 방정식에서 손으로도 얻을 수 있다 — 동압만큼 압력이 변하면 $\Delta p \sim \rho u^2/2$ 이고, 밀도는 $\Delta \rho \sim \Delta p / a^2 = \rho u^2 / (2a^2)$ 이니 $\Delta\rho/\rho = M^2/2$ .

$M$	$M^2/2$ (근사)	$\rho_0/\rho - 1$ (정확, $\gamma = 1.4$ )
0.1	0.50 %	0.50 %
0.2	2.0 %	2.01 %
0.3	4.5 %	4.56 %
0.5	12.5 %	13.1 %

$M=0.3$ 에서 밀도가 약 4.6% 움직인다. “5%까지는 봐주자”가 0.3의 정체다. 자연이 그은 선이 아니라 공학자의 타협선이고, 교과서마다 0.2~0.3 사이에서 흔들리는 이유이기도 하다.¹

같은 전개를 정체압에 하면 피토관 보정이 나온다.

p_0 - p = \frac{1}{2}\rho u^2\left(1 + \frac{M^2}{4} + \frac{2-\gamma}{24}M^4 + \cdots\right)

괄호 안 둘째 항이 압축성 보정이다. $M=0.3$ 이면 동압을 2.25% 과대평가하게 되는데, 저속 풍동에서 마하수를 무시하고 속도를 환산하다 이 정도 오차가 계통적으로 깔리는 사고가 실제로 흔하다.

4. 영역 구분[편집]

경계값은 관례적이며 물체 형상에 따라 흔들린다.

영역	대략 범위	지배적 사건
비압축 근사	$M < 0.3$	밀도 상수, 압력은 라그랑주 승수
아음속	$0.3 \sim 0.8$	밀도 변화 유의, 충격파 없음, 방정식 타원형
천음속	$0.8 \sim 1.2$	국소 초음속 포켓 + 종단 충격파, 혼합형
초음속	$1.2 \sim 5$	경사·수직 충격파, 방정식 쌍곡형
극초음속	$M > 5$	실기체 효과, 점성 상호작용, $\gamma$ 가 상수가 아님

정지 매질을 $M>1$ 로 지나는 교란의 포락면이 만드는 원뿔의 반각이 마하각 $\mu = \arcsin(1/M)$ 이고, 이것이 곧 수치해석에서 말하는 의존 영역이다. 자세한 건 초음속 유동 참고.

제일 고약한 건 천음속이다. 물체 전체는 아음속인데 표면 일부에서만 국소적으로 $M>1$ 이 되고, 그 포켓이 충격파로 닫히면서 방정식의 형태 자체가 공간적으로 바뀐다. 타원형과 쌍곡형이 한 도메인에 공존하니 상류 차분 방향을 어디에 맞출지가 애매해지고, 해가 격자와 초기조건에 병적으로 민감해진다. 천음속 유동이 CFD의 고전적 난제로 남은 이유다.

5. 임계 마하수와 항력 발산[편집]

자유류 마하수 $M_\infty$ 를 올리다 보면, 물체 표면의 최고 속도 지점이 먼저 음속에 도달하는 순간이 온다. 이때의 $M_\infty$ 가 임계 마하수 $M_{\mathrm{cr}}$ 이다. 얇고 매끈한 익형일수록 표면 가속이 완만해 $M_{\mathrm{cr}}$ 이 높다.

임계 마하수를 넘겨도 곧바로 큰일이 나지는 않는다. 문제는 국소 초음속 포켓이 자라 종단 충격파로 닫히기 시작할 때다. 충격파 뒤의 압력 상승이 경계층을 박리시키고, 충격파 자체의 엔트로피 생성이 조파항력(wave drag)으로 나타난다. 그래서 $M_{\mathrm{cr}}$ 을 조금 넘긴 지점부터 항력계수가 급격히 치솟는데, 이 지점을 항력 발산 마하수 $M_{dd}$ 라 하고 $M_{dd} > M_{\mathrm{cr}}$ 이다. 정의가 회사마다 다르다는 게 재미있다 — 보잉 기준은 $dC_D/dM = 0.1$ 이 되는 점, 더글러스 기준은 $\Delta C_D = 0.002$ 가 쌓인 점이다.

$M_{dd}$ 를 밀어 올리는 것이 천음속 항공기 설계의 전부라 해도 과언이 아니다.

후퇴익: 날개에 수직한 속도 성분만이 압축성에 기여한다는 발상. 유효 마하수를 $M\cos\Lambda$ 로 깎는다.
초임계 익형: 휘트컴(NASA, 1960년대)이 정리한 형상. 윗면을 평평하게 만들어 초음속 포켓을 넓고 얕게 유지하고, 종단 충격파를 약하게 만든 뒤 뒷부분 캠버로 양력을 회복한다.
면적 법칙: 휘트컴(1952). 기체 전체의 단면적 분포가 매끄러워야 조파항력이 작다. 동체 허리를 잘록하게 만든 코카콜라병 형상이 여기서 나왔다.

6. 압축성 보정 — 프란틀-글라우어트[편집]

아음속에서 압축성 효과를 비압축 해에 사후 보정으로 얹는 고전적 방법이 **프란틀-글라우어트 보정**이다. 얇은 물체·작은 교란·아음속을 가정하고 선형화된 속도 퍼텐셜 방정식

\left(1 - M_\infty^2\right)\phi_{xx} + \phi_{yy} + \phi_{zz} = 0

에 좌표 늘이기를 적용하면 라플라스 방정식으로 돌아간다. 결과는 압력계수의 단순 배율이다.

C_p = \frac{C_{p,0}}{\sqrt{1 - M_\infty^2}}, \qquad C_L = \frac{C_{L,0}}{\sqrt{1 - M_\infty^2}}

아래 첨자 0은 같은 형상·같은 받음각의 비압축 해다. $\beta = \sqrt{1-M_\infty^2}$ 라 쓰고 ” $1/\beta$ 배 뻥튀기”라고 외우면 된다. $M_\infty = 0.7$ 이면 1.4배, 즉 압축성만으로 양력이 40% 늘어난다.

한계도 분명하다. $M_\infty \to 1$ 에서 $\beta \to 0$ 이라 보정이 발산하는데, 실제 양력은 발산하지 않는다. 선형화 자체가 천음속에서 무효이기 때문이다. 이를 부분적으로 고친 것이 카르만-첸 보정과 라이톤 보정으로, 둘 다 $C_{p,0}$ 에 대한 비선형 항을 넣어 발산을 늦춘다. 초음속 쪽에는 대응물로 아케레트의 선형 이론 $C_p = 2\theta/\sqrt{M_\infty^2 - 1}$ 이 있는데, 분모의 부호가 뒤집힌 것이 방정식이 타원형에서 쌍곡형으로 넘어갔다는 사실을 그대로 반영한다.²

7. 수치해석에서의 마하수[편집]

높은 마하수의 난점은 불연속이다. 충격파를 뭉개지 않고 진동 없이 잡아야 하므로 고두노프 도식 계열의 밀도 기반 솔버 + 리만 솔버 + 비선형 제한자 조합이 표준이 된다.

낮은 마하수의 난점은 정반대로 특이성이다. 압축성 오일러 방정식의 특성속도는 $u$ , $u \pm a$ 인데, $M \to 0$ 이면 이 셋의 비가

\frac{|u| + a}{|u|} = 1 + \frac{1}{M}

으로 발산한다. 결과는 두 가지 병이다.

강성(stiffness): CFL 조건이 가장 빠른 파인 음파에 묶이므로, 정작 관심 있는 대류 시간척도를 진행시키는 데 $1/M$ 배의 스텝이 필요하다. 마하 0.01이면 100배다.
정확도 붕괴: 상류 도식의 수치 소산은 속도 점프에 $\rho a \Delta u$ 규모로 걸리는데, 물리적으로 의미 있는 압력 변동은 $\rho u^2 \sim \rho a^2 M^2$ 규모다. 소산이 신호보다 $1/M$ 배 크다. 기야르와 비오자(1999)의 점근 해석이 보인 결론이 이것 — 표준 Roe 도식은 고정 격자에서 압력 변동을 $\mathcal{O}(M^2)$ 이 아니라 $\mathcal{O}(M)$ 으로 잘못 스케일링한다. 격자를 아무리 촘촘히 해도 낫지 않는 계통 오차다.

처방은 세 갈래다. 첫째, 저마하수 전처리(Turkel 1987 등) — 시간 미분항 앞에 행렬을 곱해 인공적으로 음속을 유속 수준까지 끌어내린다. 정상해는 보존되지만 시간 정확도가 깨지므로 비정상 문제에는 이중 시간 전진(dual time stepping)을 함께 쓴다. 둘째, 플럭스 수정 — 속도 점프에 걸리는 소산 항만 $M$ 배로 눌러 주는 저마하 픽스. 셋째, 아예 압력 기반 솔버로 갈아타기 — 비압축·저속 영역은 SIMPLE 알고리즘 계열이 훨씬 편하고, 요즘 상용 코드의 “pressure-based coupled” 솔버는 마하 2~3까지도 커버한다.

밀도 기반과 압력 기반의 갈림길이 마하수 어디쯤인지에는 정답이 없다. 대략 마하 0.3 이하는 압력 기반, 1 이상은 밀도 기반, 그 사이는 코드와 사람의 취향이라는 게 현장 감각이다.

8. 극초음속에서 마하수의 지위[편집]

역설적이지만 마하수가 아주 커지면 마하수 자체가 덜 중요해진다. 오스바티치(1951)의 마하수 독립 원리에 따르면, 뭉툭한 물체 주변의 무차원 압력·힘 계수는 $M_\infty \to \infty$ 극한에서 마하수와 무관한 값으로 수렴한다. 마하 8과 마하 20의 항력계수가 사실상 같다는 뜻이다.

더 근본적으로, 극초음속에서는 고온 때문에 진동 여기·해리·전리가 일어나 $\gamma$ 가 상수가 아니게 된다. $a = \sqrt{\gamma R T}$ 라는 정의부터 흔들리고, 같은 마하수라도 고도와 형상이 다르면 전혀 다른 화학 상태가 된다. 그래서 재진입 해석에서는 마하수 대신 속도와 고도를 직접 상태 변수로 쓰고, 마하수는 보조 지표로 강등된다. 자세한 건 극초음속 유동 참고.

9. 여담[편집]

에른스트 마하는 유체역학자가 아니라 물리학자이자 철학자다. 1887년 잘허(P. Salcher)와 함께 초음속 탄환의 충격파를 슐리렌 사진으로 포착한 것이 그의 유체역학 최대 업적이고, 그 사진이 마하각과 마하 원뿔의 첫 실험적 증거였다.
정작 “마하수”라는 용어를 만든 사람은 스위스의 야콥 아케레트로, 1929년에 제안했다. 마하 본인은 그 단어를 들어 본 적이 없다.
마하는 원자의 실재를 끝까지 부정한 것으로도 유명하다. “본 적 없는 것은 물리학이 아니다”라는 그의 실증주의는 볼츠만과의 유명한 논쟁을 낳았고, 볼츠만 방정식이 오늘날 마하수가 통하지 않는 영역(크누센수가 큰 영역)의 지배 방정식이 되었다는 사실은 어딘가 아이러니하다.³

10. 관련 문서[편집]

그래서 “마하 0.3 이하면 비압축”이라는 문장은 문제에 따라 틀린다. 밀도 4.6% 오차가 치명적인 문제(정밀 유량계, 음향)는 마하 0.1에서도 압축성을 챙겨야 하고, 반대로 밀도 10%쯤은 우습게 봐도 되는 문제는 마하 0.5까지도 비압축으로 때린다. 기준선은 유동이 아니라 요구 정확도가 정한다. ↩
프란틀은 1922년경 강의에서 이 배율을 이미 썼고 글라우어트가 1928년에 정식 논문으로 정리했다. 참고로 같은 변환을 아음속 유한 날개에 적용하면 형상 자체가 $1/\beta$ 배로 늘어난 등가 날개를 풀어야 해서, 후퇴각과 종횡비까지 함께 변환된다. “압력계수에 $1/\beta$ 만 곱하면 끝”이라는 기억은 2차원 익형에서만 안전하다. ↩
마하는 1916년에 죽었고, 원자의 실재를 확정지은 페랭의 브라운 운동 실험(1908)과 아인슈타인의 1905년 논문은 그보다 먼저 나왔다. 즉 그는 반증을 보고도 끝내 인정하지 않은 쪽에 가깝다. 그 고집스러움이 아니었으면 상대성이론에 영향을 준 그의 인식론적 비판도 없었을 테니, 물리학사는 이런 식으로 자주 손익이 상계된다. ↩

마하수