볼츠만 방정식

1. 개요[편집]

볼츠만 방정식(Boltzmann equation)은 기체를 구성하는 분자의 단일입자 분포함수 $f(\mathbf{x}, \mathbf{v}, t)$ 가 위치·속도로 이루어진 6차원 위상공간에서 어떻게 진화하는지를 기술하는, 기체운동론의 지배방정식이다. 1872년 루트비히 볼츠만이 세웠고, 이 한 줄에서 오일러 방정식과 나비에-스토크스 방정식, 점성·열전도 계수의 분자적 표현, 그리고 열역학 제2법칙이 전부 흘러나온다.

$f\,d^3x\,d^3v$ 는 시각 $t$ 에 위치 $\mathbf{x}$ 근방 부피 $d^3x$, 속도 $\mathbf{v}$ 근방 $d^3v$ 안에 들어 있는 분자 수의 기댓값이다. 분자 $10^{23}$ 개의 좌표와 운동량을 통째로 추적하는 대신, “어느 위치에서 어느 속도로 날고 있는 놈이 얼마나 되는가”라는 밀도 하나로 압축한 것. 분자동역학이 개별 궤적을 붙잡는 미시 관점이고 CFD가 밀도·속도·온도만 보는 거시 관점이라면, 볼츠만 방정식은 그 사이의 중간자적(mesoscopic) 층위를 정확히 담당한다.¹

2. 수송항과 충돌적분[편집]

방정식의 형태는 다음과 같다.

$$\frac{\partial f}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla_{\mathbf{x}} f + \frac{\mathbf{F}}{m}\cdot\nabla_{\mathbf{v}} f = Q(f, f)$$

좌변 셋은 수송항이다. 분자가 자기 속도로 날아가서 위치가 바뀌고($\mathbf{v}\cdot\nabla_x$), 외력을 받아 속도가 바뀐다($\mathbf{F}/m\cdot\nabla_v$). 충돌이 없다면 좌변만 0으로 두면 되고, 그것이 위상공간 밀도의 보존, 즉 리우빌 정리의 단일입자 판본이다. 장거리 자기장·전기장만 있고 근접 충돌을 무시하면 그대로 블라소프 방정식이 된다.

문제는 우변의 충돌적분 $Q(f,f)$ 다. 이체 탄성충돌만 세면

$$Q(f,f) = \int_{\mathbb{R}^3}\!\!\int_{S^2} \left| \mathbf{v}-\mathbf{v}_* \right| \sigma(\left|\mathbf{v}-\mathbf{v}_*\right|, \Omega)\,\Big[ f(\mathbf{v}')f(\mathbf{v}'_*) - f(\mathbf{v})f(\mathbf{v}_*) \Big]\,d\Omega\,d^3v_*$$

이다. 대괄호 안의 앞쪽은 충돌 후 속도가 $(\mathbf{v}, \mathbf{v}_*)$ 가 되는 유입 항, 뒤쪽은 $(\mathbf{v},\mathbf{v}_*)$ 짝이 부딪혀 사라지는 유출 항이다. 5중 적분에 $f$ 가 두 번 들어가는 비선형 연산자라, 이 항 하나 때문에 볼츠만 방정식이 수치적으로 악명 높은 물건이 된다.

여기서 결정적인 가정이 하나 들어간다. 이체 분포함수를 단일입자 분포의 곱으로 인수분해하는 분자 카오스 가정(Stosszahlansatz), 즉 충돌 직전 두 분자의 속도가 서로 무상관이라는 전제다. BBGKY 계층을 첫 단계에서 끊는 근사인 셈인데, 미시 법칙은 시간 반전에 대칭인데도 볼츠만 방정식이 비가역적인 이유가 정확히 여기 있다. 충돌 전의 무상관을 가정했지 충돌 후를 가정하지 않았기 때문에, 이 한 줄에 시간의 화살이 몰래 들어간다. 로슈미트의 가역성 반론과 체르멜로의 재귀 반론이 전부 이 지점을 겨눈 것이었다.²

3. 충돌 불변량과 H-정리[편집]

충돌적분에는 아무리 두들겨도 부서지지 않는 성질이 둘 있다. 첫째, 탄성충돌에서 보존되는 양 $\psi \in \{1,\ \mathbf{v},\ |\mathbf{v}|^2\}$ — 이른바 충돌 불변량 다섯 개에 대해

$$\int \psi(\mathbf{v})\, Q(f,f)\, d^3v = 0$$

이 항등적으로 성립한다. 이 다섯 개가 그대로 질량·운동량·에너지 보존이 되고, 거시 유체 방정식이 다섯 개인 근본 이유다.

둘째가 그 유명한 H-정리다. $H(t) = \int f \ln f\, d^3v$ 로 두면, 공간 균일한 경우

$$\frac{dH}{dt} \le 0$$

이고 등호는 $f$ 가 맥스웰-볼츠만 분포일 때만 성립한다.

$$f^{\mathrm{eq}} = n\left(\frac{m}{2\pi k_B T}\right)^{3/2}\exp\!\left(-\frac{m|\mathbf{v}-\mathbf{u}|^2}{2 k_B T}\right)$$

$S = -k_B H$ 로 놓으면 엔트로피 증가 법칙이다. 분포함수가 무엇에서 출발하든 국소 맥스웰 분포로 이완한다는 것이 볼츠만 방정식이 스스로 증명하는 사실이고, 평형통계역학이 가정으로 깔고 들어가는 것을 여기서는 결과로 얻는다.

4. BGK 모형[편집]

충돌적분을 그대로 계산하는 건 대부분의 실무에서 사치다. 그래서 1954년 바트나가르·그로스·크룩이 내놓은 극단적 단순화가 표준으로 굳었다.

$$Q(f,f) \approx -\frac{1}{\tau}\left(f - f^{\mathrm{eq}}\right)$$

“충돌이란 결국 분포를 국소 평형 쪽으로 시간상수 $\tau$ 로 끌어당기는 일”이라는 것. 5중 적분이 뺄셈 한 번으로 바뀌는데도 충돌 불변량과 H-정리를 모두 보존한다는 것이 이 모형의 놀라운 점이다. 물론 공짜는 아니다. 완화율이 하나뿐이라 운동량 확산과 열 확산이 같은 속도로 일어나고, 그 결과 프란틀수가 항상 $\mathrm{Pr}=1$ 로 고정된다. 단원자 기체의 실제 값 $2/3$ 과 어긋나므로 열전달이 중요한 문제에서는 ES-BGK(타원 통계 모형)나 샤코프 모형처럼 평형분포를 비등방적으로 손봐 $\mathrm{Pr}$ 을 자유롭게 만든 변형을 쓴다. 격자 볼츠만 방법의 SRT 충돌항이 바로 이 BGK이고, MRT가 완화율을 모멘트별로 쪼개는 것도 같은 결함을 푸는 작업이다.

5. 모멘트를 취하면 유체역학이 나온다[편집]

거시량은 전부 $f$ 의 속도 모멘트다. 요동속도 $\mathbf{c} = \mathbf{v}-\mathbf{u}$ 로 쓰면

$$\rho = m\!\int\! f\,d^3v, \quad \rho\mathbf{u} = m\!\int\! \mathbf{v} f\,d^3v, \quad \tfrac{3}{2}\rho R T = \tfrac{m}{2}\!\int\! |\mathbf{c}|^2 f\,d^3v$$

이고, 압력텐서 $P_{\alpha\beta}=m\int c_\alpha c_\beta f$, 열유속 $q_\alpha = \tfrac{m}{2}\int c_\alpha |\mathbf{c}|^2 f$ 도 같은 방식으로 정의된다. 방정식 양변에 $\psi$ 를 곱해 속도에 대해 적분하면 우변이 0이 되어 보존형 수송방정식이 떨어진다.

문제는 닫힘(closure)이다. $n$ 차 모멘트의 발전 방정식에는 반드시 $n+1$ 차 모멘트가 등장한다. 유한 개로 자르려면 어딘가에서 고차 모멘트를 저차의 함수로 가정해야 하고, 그 가정의 방식이 계보를 가른다.

• 채프먼-엔스코그 전개: $f$ 를 크누센수의 멱급수로 전개한다. 0차에서 국소 맥스웰 분포와 오일러 방정식, 1차에서 뉴턴 점성·푸리에 열전도가 붙은 나비에-스토크스, 2차에서 버넷 방정식이 순서대로 나온다. 나비에-스토크스는 볼츠만의 크누센수 1차 근사라는 결론이 여기서 나온다.
• 모멘트법: 그라드가 1949년에 제안한 13-모멘트 근사는 $f$ 를 맥스웰 분포에 에르미트 다항식을 곱해 전개하고 13개 항에서 자른다. 짧은 파장에서 방정식이 쌍곡성을 잃는 문제가 있어, 이를 손본 정칙화 R13 계열이 후속으로 나왔다.

6. 크누센수에 따른 체제[편집]

평균자유행로 $\lambda$ 와 대표 길이 $L$ 의 비인 크누센수 $\mathrm{Kn} = \lambda/L$ 이 커질수록 충돌항의 상대적 비중이 줄어들고, 어느 근사가 살아남는지가 바뀐다.

체제	대략적 범위	실무 도구
연속체	$\mathrm{Kn} < 0.01$	나비에-스토크스 기반 CFD
미끄럼	$0.01 \sim 0.1$	CFD + 미끄럼·온도 도약 경계조건
전이	$0.1 \sim 10$	볼츠만 방정식 직접 풀이
자유분자	$\mathrm{Kn} > 10$	충돌항 없는 자유 수송

중요한 건 볼츠만 방정식 자체는 네 구간 전부에서 유효하다는 점이다. 무너지는 것은 그로부터 유도된 근사들이지 원 방정식이 아니다. 대신 대가가 있다 — 전이 영역을 제대로 풀려면 6차원 위상공간을 직접 이산화해야 하고, 이것이 계산량 폭발의 근원이다.

7. 수치 해법[편집]

• 이산 속도법(DVM): 속도공간을 격자로 잘라 각 이산 속도마다 이류방정식을 푼다. 물리공간 $N_x^3$ 에 속도공간 $N_v^3$ 이 곱해지므로 메모리가 순식간에 갈려 나가지만, 통계 잡음이 전혀 없어 저속 미세유동처럼 신호 대 잡음이 나쁜 문제에서 압도적으로 유리하다. 충돌적분을 직접 계산하면 3차원에서 방향당 $N$ 모드일 때 $O(N^6)$ 이라 감당이 안 되고, 푸리에-갈레르킨 기반 고속 스펙트럴 기법이 이를 $O(M N^3 \log N)$ 급으로 낮춘다.
• 직접 시뮬레이션 몬테카를로(DSMC): 분포함수를 대표입자 표본으로 대신하고, 충돌적분을 확률적 충돌 표본추출로 대체한다. 희박기체 공력·진공 공정의 사실상 표준이며, 고속·고Kn에서는 DVM보다 압도적으로 싸다. 반대로 저속에서는 잡음이 신호를 덮는다.
• 격자 볼츠만 방법(LBM): 속도공간을 9개나 19개 방향으로 극단적으로 자르고 BGK 충돌 + 스트리밍만 반복한다. 이름과 달리 저차 가우스-에르미트 구적이라 실제로 복원되는 것은 나비에-스토크스이며, 희박기체를 노리려면 고차 격자가 필요하다.
• 하이브리드·통합 기법: 국소 크누센수로 영역을 나눠 CFD와 DSMC를 이어 붙이거나, 셀 크기·시간 간격에 따라 운동론과 연속체 극한 사이를 매끄럽게 오가는 통합 기체운동론 기법(UGKS)을 쓴다.

수학적으로도 이 방정식은 아직 완결되지 않았다. 힐베르트의 23문제 중 6번이 “역학의 공리화”, 구체적으로는 원자 모형에서 볼츠만 방정식과 유체 방정식을 엄밀히 유도하는 문제였는데, 랜퍼드가 1975년 볼츠만-그라드 극한에서 아주 짧은 시간 동안만 엄밀 유도에 성공했고 그 시간 제약은 지금도 본질적으로 풀리지 않았다. 대역 해의 존재성은 1989년 디페르나와 리옹의 재규격화 해 개념으로 얻어졌지만, 유일성은 여전히 미해결이다.³

8. 관련 문서[편집]

• 채프먼-엔스코그 전개 · 크누센수
• 격자 볼츠만 방법 · 직접 시뮬레이션 몬테카를로
• 블라소프 방정식 · 플라즈마 시뮬레이션
• 나비에-스토크스 방정식 · 오일러 방정식
• 모멘트법 · 기체동역학
• 분자동역학 · 몬테카를로 방법
• 리우빌 정리 · 상전이

9. Footnotes[편집]

1. 그래서 볼츠만 방정식은 “분자를 다 푸는 것보다는 싸고, 유체 방정식보다는 비싼” 자리를 차지한다. 문제는 그 “싸다”가 어디까지나 아보가드로수 기준이라는 것. 위상공간이 6차원이라 격자 하나 늘릴 때마다 6제곱으로 커진다. ↩

2. 볼츠만은 이 논쟁에 평생 시달렸다. 묘비에 새겨진 $S = k \log W$ 는 그가 옳았다는 사후 인정에 가깝다. 참고로 이 식을 저 형태로 처음 쓴 사람은 볼츠만이 아니라 플랑크였다는 것이 정설. ↩

3. 즉 인류는 “볼츠만 방정식의 해가 유일하게 존재하는가”를 아직 모르는 채로, 재진입체 공력가열과 반도체 진공 공정을 이 방정식으로 설계하고 있다. 나비에-스토크스 방정식의 밀레니엄 문제와 정확히 같은 구도이며, 사실 그 위층에서 벌어지는 일이라 더 근본적이다. ↩