웨이블릿 변환

1. 개요[편집]

언제 울렸는지도 알고 싶고 몇 헤르츠인지도 알고 싶다. 둘 다는 안 된다. 그래서 타협한다.

웨이블릿 변환(wavelet transform)은 신호를 진동수가 아니라 스케일(scale)과 위치(position) 로 분해하는 적분 변환이다. 하나의 모함수 웨이블릿(mother wavelet) $\psi(t)$ 를 늘리고(팽창 $a$) 옮기며($b$) 만든 함수족과의 내적으로 신호를 재본다.

$$W_f(a, b) = \frac{1}{\sqrt{a}} \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\, \psi^{*}\!\left( \frac{t-b}{a} \right) dt$$

푸리에 변환이 무한히 뻗은 $e^{i\omega t}$ 로 신호 전체를 한꺼번에 재는 것과 달리, $\psi$ 는 짧게 진동하다 죽는 국소적인 잔물결이다. 그래서 “어느 시각에 어떤 스케일의 사건이 있었나”를 동시에 잡는다. 충격, 균열 신호, 난류의 간헐적 돌풍처럼 비정상(non-stationary) 신호에서 푸리에가 무력해지는 지점이 정확히 웨이블릿의 출발점이다.

임의의 $\psi$ 가 다 되는 것은 아니고, 역변환이 존재하려면 허용 조건(admissibility)

$$C_\psi = \int_0^{\infty} \frac{|\hat{\psi}(\omega)|^2}{\omega}\, d\omega < \infty$$

을 만족해야 한다. 이 적분이 유한하려면 $\hat{\psi}(0) = 0$, 즉 $\int \psi(t)\,dt = 0$ 이어야 한다 — 웨이블릿은 평균이 0이어야 한다는 뜻. 직류 성분을 못 보는 대신 변화만 본다는 성격이 여기서 나온다.

2. 창 폭의 맞교환 — 왜 스케일인가[편집]

시간-주파수 국소화에는 빠져나갈 수 없는 하한이 있다. 신호의 시간 폭 $\Delta t$ 와 주파수 폭 $\Delta \omega$ 는

$$\Delta t \cdot \Delta \omega \ge \frac{1}{2}$$

를 만족한다(가보 한계). 등호는 가우시안에서만 성립한다.¹ 즉 “짧고 날카로운 시간 분해능”과 “촘촘한 주파수 분해능”은 원리적으로 동시에 못 얻는다.

단시간 푸리에 변환(STFT)은 창 폭을 하나로 고정해서 이 예산을 쓴다. 창을 좁히면 20 Hz와 21 Hz를 구분 못 하고, 넓히면 0.1 ms짜리 충격이 뭉개진다. 저주파와 고주파에 같은 자를 들이대는 것이 문제다.

웨이블릿은 예산을 주파수에 비례해서 배분한다. 스케일 $a$ 에서 시간 폭은 $\Delta t \propto a$, 주파수 폭은 $\Delta \omega \propto 1/a$ 이므로 곱은 그대로지만 비율 $\omega / \Delta\omega$ 가 스케일과 무관하게 일정하다 — 이것이 상수 Q(constant-Q) 성질이다. 결과적으로 고주파는 시간적으로 날카롭게, 저주파는 주파수적으로 촘촘하게 본다. 자연 신호 대부분이 “저주파는 길게 지속되고 고주파는 짧게 터진다”는 구조라, 이 배분이 공짜로 맞아떨어진다.

3. CWT와 DWT[편집]

연속 웨이블릿 변환(CWT) 은 $a, b$ 를 연속으로 훑는다. 결과는 $(a,b)$ 평면의 스칼로그램이고, 정보가 심하게 중복되어 있어 눈으로 보고 판단하는 데 유리하다. 모를레(Morlet), 멕시칸 햇(가우시안 2차 미분) 같은 복소·실수 웨이블릿이 표준이며, 특이점 검출과 스케일링 지수 측정처럼 “그림을 봐야 하는” 작업에 쓴다.

이산 웨이블릿 변환(DWT) 은 $a = 2^{j}$, $b = k\,2^{j}$ 의 이진(dyadic) 격자만 뽑는다. 표본 $N$ 개짜리 신호에서 계수도 정확히 $N$ 개가 나오는 임계 표본추출이라 중복이 없고, 압축·잡음 제거처럼 “계수를 건드려 되돌려야 하는” 작업에 쓴다. CWT는 진단, DWT는 처리 — 실무에서 이 둘을 헷갈리면 압축률이 1보다 커지는 참사가 난다.

4. 다중해상도 해석과 필터뱅크[편집]

말라(Mallat)와 메이어(Meyer)의 다중해상도 해석(MRA)이 DWT에 골격을 준다. 중첩된 근사 공간열 $\cdots \subset V_{-1} \subset V_0 \subset V_1 \subset \cdots$ 을 두고, $V_{j+1} = V_j \oplus W_j$ 로 쪼갠다. $V_j$ 를 스케일 함수 $\varphi$, 여집합 $W_j$ 를 웨이블릿 $\psi$ 가 각각 생성하며 둘은 세밀화 방정식으로 묶인다.

$$\varphi(t) = \sqrt{2} \sum_n h[n]\, \varphi(2t - n), \qquad \psi(t) = \sqrt{2} \sum_n g[n]\, \varphi(2t - n)$$

여기서 $g[n] = (-1)^n h[1-n]$ 이다. 놀라운 것은 $\varphi$ 나 $\psi$ 의 함수 꼴을 전혀 몰라도 계수 $h[n]$ 만 있으면 변환이 계산된다는 점이다. 저역통과 $h$, 고역통과 $g$ 로 거른 뒤 2배 다운샘플링하고, 저역 출력에 같은 짓을 재귀적으로 반복하면 끝 — 이것이 말라 피라미드 알고리즘이며 연산량이 $O(N)$ 이다. 고속 푸리에 변환의 $O(N \log N)$ 보다도 싸다.

완전 재구성(perfect reconstruction)은 필터에 조건을 건다. 직교 필터뱅크에서는

$$|H(\omega)|^2 + |H(\omega + \pi)|^2 = 2$$

가 성립해야 한다(직교 거울 필터 조건). 하르(Haar) 웨이블릿은 $h = (1/\sqrt{2},\, 1/\sqrt{2})$ 로 가장 짧은 해이고,² 도브시(Daubechies) 웨이블릿 $\mathrm{db}N$ 은 필터 길이 $2N$, 소실 모멘트 $N$ 개로 “주어진 소실 모멘트 수에 대해 지지 구간이 최소”인 직교해다.³

5. 소실 모멘트, 희소성, 잡음 제거[편집]

소실 모멘트(vanishing moment)는 $\int t^m \psi(t)\, dt = 0$ ($m = 0, \dots, N-1$)을 뜻한다. 이 성질 하나가 웨이블릿을 쓸모 있게 만든다 — 신호가 국소적으로 차수 $N-1$ 이하의 다항식이면 그 구간의 상세 계수가 정확히 0이 된다. 매끄러운 곳은 계수가 죽고, 불연속·모서리·특이점 근처에만 큰 계수가 몇 개 살아남는다. 즉 웨이블릿 기저에서 자연 신호는 희소(sparse) 하다.

여기서 두 응용이 곧장 나온다.

• 잡음 제거: 백색 잡음은 어떤 직교 기저에서도 골고루 퍼지지만 신호는 몇 개 계수에 몰린다. 작은 계수를 잘라내면 잡음만 지워진다. 도노호-존스톤의 보편 임계값 $\lambda = \sigma\sqrt{2 \ln N}$ 이 고전적 처방이고, 계수를 잘라내는 하드 임계와 $\lambda$ 만큼 당기는 소프트 임계가 있다. 소프트 쪽이 편향은 생기지만 결과가 훨씬 매끄럽다.
• 압축: 큰 계수 몇 %만 남긴다. JPEG2000이 대표 사례로, 손실 압축에는 CDF 9/7 쌍직교 웨이블릿을, 무손실에는 정수 계수인 르갈 5/3을 쓴다. 블록 DCT의 고질병인 블록 경계 아티팩트가 없어 고압축률에서 화질이 확연히 낫다.⁴

6. 시뮬레이션에서의 쓰임[편집]

• 난류의 간헐성 진단: 스케일별 계수의 첨도(flatness)가 스케일이 작아질수록 커지는 것이 간헐성의 직접 증거다. 구조함수로 재는 스케일링 지수 $\zeta_p$ 와 같은 이야기를 다른 자로 재는 셈인데, 웨이블릿 쪽은 큰 $p$ 에서 수렴이 더 얌전하다. WTMM(웨이블릿 변환 모듈러스 극대선) 형식론은 다중프랙탈 스펙트럼 $f(\alpha)$ 를 계수의 극대선 위에서 직접 뽑아낸다.
• 결맞은 와류 추출(CVS): 난류장의 웨이블릿 계수를 임계값으로 자르면, 살아남은 소수의 계수가 결맞은 와류를, 버려진 대다수가 비결맞은 배경을 담는다. 이 분해가 대와류 모사의 필터와 다른 점은 필터가 유동에 맞춰 적응한다는 것.⁵
• 특이점·충격파 검출: 계수의 스케일 간 감쇠율이 국소 횔더 지수를 준다. 매끄러운 곳은 $a$ 가 줄면 계수가 빠르게 죽고, 불연속에서는 죽지 않는다. 충격 포착 도식의 감지기나 적응 격자 세분화의 세분화 판정에 그대로 쓰인다.
• 웨이블릿 적응 격자: 하르튼의 다중해상도 기법과 적응 웨이블릿 콜로케이션법은 해를 웨이블릿으로 전개해 계수 크기가 $\epsilon$ 이상인 곳에만 격자점을 남긴다. 격자점 수가 해의 복잡도에 비례해 자동으로 정해지고, 절단 오차가 $\epsilon$ 으로 정량적으로 통제된다는 점이 휴리스틱 세분화 지표와 결정적으로 다르다.

7. 한계[편집]

만능은 아니다. 정상 신호에서 주파수를 정밀하게 재는 일은 여전히 푸리에가 압도적이다. DWT는 평행이동 불변성이 없어서(입력을 한 표본 밀면 계수 분포가 확 바뀐다) 검출·특징 추출에는 다운샘플링을 뺀 비추출 웨이블릿(SWT)을 써야 하고, 그 순간 $O(N)$ 이 $O(N\log N)$ 이 되고 계수도 중복된다. 2차원에서는 텐서곱 웨이블릿이 수평·수직·대각 세 방향밖에 못 봐서 곡선 모서리를 비효율적으로 표현한다 — 커브렛·시어렛 같은 후속 변환이 나온 이유다. 마지막으로 모함수 선택에 정답이 없다. 소실 모멘트를 늘리면 매끄러운 영역은 더 희소해지지만 필터가 길어져 불연속 하나가 오염시키는 계수 수가 늘어난다. 결국 신호를 보고 고르는 수밖에 없다.

8. 관련 문서[편집]

• 푸리에 변환 · 고속 푸리에 변환
• 윈도 함수 · 기저함수 · 직교다항식
• 간헐성 · 구조함수 · 다중프랙탈 · 허스트 지수
• 적응 격자 세분화 · 스펙트럴 방법
• 주성분 분석 · 축소차수모델
• 난류 · 대와류 모사

9. Footnotes[편집]

1. 물리 전공자는 여기서 반사적으로 “하이젠베르크”를 떠올리지만, 신호처리판은 양자역학과 무관한 순수 푸리에 해석의 정리다. 같은 부등식이 두 곳에서 나오는 이유는 그냥 둘 다 푸리에 쌍이기 때문. 유도한 사람 이름을 따 가보 한계라 부른다. ↩

2. 알프레드 하르가 이 기저를 만든 건 1909년, “웨이블릿”이라는 단어가 생기기 70년 전이다. 당시엔 그냥 직교계 하나였는데, 80년 뒤에 원조로 소급 인정받은 케이스. ↩

3. $\mathrm{db}N$ 의 $N$ 이 필터 길이인지 소실 모멘트 수인지가 라이브러리마다 달라서 매년 누군가는 이걸로 하루를 날린다. MATLAB·PyWavelets의 db4는 소실 모멘트 4개·필터 길이 8이고, 일부 문헌의 “D4”는 필터 길이 4(=db2)다. 계수 개수를 세어보는 게 제일 빠르다. ↩

4. 기술적으로는 완승이었는데 시장에서는 졌다. 브라우저 지원이 끝내 안 붙어서, JPEG2000은 디지털 시네마(DCP)와 의료영상(DICOM)이라는 두 성채에서만 살아남았다. 좋은 기술이 이긴다는 명제의 반례 목록에 늘 오른다. ↩

5. Farge & Schneider의 CVS. 난류 자유도의 1% 미만인 계수가 에너지의 99% 이상과 와도 통계 대부분을 담는다는 결과가 반복 재현됐다. 나머지 99%는 통계적으로 가우시안에 가까워, 버려도 되는 게 아니라 모델링해도 되는 대상이 된다. ↩