응답 스펙트럼 해석

구조해석 고체역학 마지막 수정: 2026-07-20 04:15:33

1. 개요[편집]

응답 스펙트럼 해석(response spectrum analysis, RSA)은 지진·충격처럼 시간에 따라 변하는 기저 가진(base excitation)에 대한 구조물의 최대 응답을, 진동 모드별로 미리 계산된 스펙트럼으로부터 조합해 평가하는 준정적 지진해석 기법이다. 핵심 발상은 이거다 — 지진 가속도 이력을 통째로 넣고 시간이력해석을 돌리는 건 비싸고 케이스마다 결과가 달라지니, “각 고유주기의 단자유도계가 그 지진에서 겪는 최대 응답”을 한 장의 곡선(응답 스펙트럼)으로 정리해 두고, 구조물의 모드마다 그 곡선을 읽어 최대 응답을 짜맞추자는 것이다.¹

내진설계 실무의 절대다수는 시간이력해석이 아니라 이 응답 스펙트럼 해석으로 이루어진다. 건축·플랜트·교량 설계기준이 대부분 설계응답스펙트럼을 제공하고, 그걸 그대로 먹여 부재력을 뽑는 것이 표준 절차이기 때문이다.

2. 응답 스펙트럼이란[편집]

응답 스펙트럼은 “고유주기 $T$ (또는 진동수)를 가진 감쇠 단자유도계가 주어진 지진 가속도 이력을 받았을 때 겪는 최대 응답”을 $T$ 의 함수로 그린 곡선이다. 단자유도계의 운동방정식은 다음과 같다.

\ddot{u} + 2\zeta\omega_n\dot{u} + \omega_n^2 u = -\ddot{u}_g(t)

여기서 $\ddot{u}_g(t)$ 는 지반 가속도, $\zeta$ 는 감쇠비, $\omega_n$ 은 고유각진동수다. 여러 주기의 단자유도계마다 이 식을 풀어 최대 상대변위·최대 가속도를 뽑아 점을 찍으면, 각각 변위 응답 스펙트럼 $S_d$ , 유사가속도 응답 스펙트럼 $S_a$ 가 된다. 세 스펙트럼은 근사적으로 다음 관계를 가진다.

S_a \approx \omega_n^2\, S_d, \qquad S_v \approx \omega_n\, S_d

실제 설계에서 쓰는 것은 특정 지진 하나의 스펙트럼이 아니라, 수많은 지진 기록을 통계 처리하고 매끈하게 다듬은 설계응답스펙트럼(design response spectrum)이다. 짧은 주기 구간의 일정 가속도 영역, 중간 주기의 일정 속도 영역, 긴 주기의 일정 변위 영역으로 나뉜 특유의 형태를 가진다.²

3. 모드별 응답과 조합[편집]

다자유도 구조물은 모드 해석으로 고유진동수와 모드형상을 먼저 구한다. 각 모드는 하나의 단자유도계처럼 거동하므로, 모드 $i$ 의 최대 응답은 그 모드의 주기 $T_i$ 에서 스펙트럼 값 $S_a(T_i, \zeta)$ 를 읽고 모드 참여계수(participation factor)를 곱해 구한다.

문제는 조합이다. 각 모드의 최대 응답은 서로 다른 시각에 발생하므로 단순히 다 더하면(절대합, ABSSUM) 지나치게 보수적이다. 그래서 확률적으로 타당한 조합법을 쓴다.

SRSS(Square Root of Sum of Squares, 제곱합의 제곱근): 모드 최대 응답 $R_i$ 를 다음처럼 조합한다.

R = \sqrt{\sum_{i} R_i^2}

모드 주기들이 충분히 떨어져 있을 때(well-separated) 정확하다. 계산이 단순해 오래 사랑받았다.

CQC(Complete Quadratic Combination, 완전이차조합): 주기가 가까운 모드끼리는 응답이 상관을 가지므로, 모드 간 상관계수 $\rho_{ij}$ 를 넣어 교차항까지 반영한다.

R = \sqrt{\sum_i \sum_j \rho_{ij}\, R_i R_j}

3차원 비대칭 구조나 근접 모드가 많은 구조에서는 SRSS가 위험 측으로 틀리므로 CQC가 표준이다.³ 상관계수 $\rho_{ij}$ 는 두 모드의 진동수 비와 감쇠비의 함수다.

여기에 방향 조합(수평 2방향+수직)까지 더해 최종 부재력을 산정한다. 유효 질량이 충분히(통상 90% 이상) 참여하도록 충분한 수의 모드를 포함하는 것이 정확도의 관건이며, 부족하면 놓친 고차 모드를 보정하는 잔여 모드(missing mass) 보정을 넣는다.

모드 조합에서 반드시 기억할 점은, 조합 후의 응답이 모두 부호를 잃은 양수라는 것이다. 제곱근을 씌우는 순간 방향 정보가 사라지므로, 조합된 축력·모멘트·전단력은 각각 절댓값 최대치일 뿐 서로의 동시 부호를 알 수 없다. 그래서 부재 설계 시에는 여러 부호 조합을 모두 검토하는 보수적 절차를 밟는다. 이 “부호 상실”이 응답 스펙트럼 해석의 가장 본질적인 근사이자 한계다.

4. 시간이력해석과의 대비[편집]

응답 스펙트럼 해석은 최대 응답의 “봉투(envelope)“만 준다. 빠르고 설계에 바로 쓰기 좋지만, 응답의 시간 이력·위상·부호 정보가 사라진다는 근본적 한계가 있다. 서로 다른 응답량(예: 축력과 모멘트)의 동시성을 알 수 없어, 부호 조합에서 보수적 가정을 강요당한다.

반면 시간이력해석은 실제 지진 가속도 기록(또는 인공 지진파)을 뉴마크법 같은 시간적분으로 직접 풀어, 매 시각의 응답을 전부 계산한다. 비선형 거동(항복, 소성 힌지, 접촉)과 응답의 동시성을 그대로 담을 수 있어 정밀하지만, 지진파 하나마다 결과가 달라 여러 세트를 돌려 평균/포락해야 하고 계산 비용이 크다. 그래서 실무 관행은 이렇게 갈린다 — 일반 구조는 응답 스펙트럼으로 설계하고, 원전·초고층·면진 구조처럼 중요하거나 비선형이 지배적인 경우에만 시간이력해석으로 검증한다.⁴

5. 내진설계 코드에서의 활용[편집]

각국 설계기준(국내 KDS 내진설계기준, 미국 ASCE 7, 유럽 Eurocode 8 등)은 지반 조건·지역 지진 위험도에 따른 설계응답스펙트럼을 표준으로 제공한다. 실무 절차는 대체로 (1) 모드 해석으로 고유주기·유효질량 확보, (2) 코드 스펙트럼에서 모드별 응답 읽기, (3) CQC 등으로 모드 조합, (4) 방향 조합 후 부재 설계로 이어진다. 상용 코드(NASTRAN·ANSYS Mechanical·Abaqus와 구조전용 SAP2000·MIDAS 등)는 이 흐름을 스펙트럼 입력만으로 자동화해 준다. 지진뿐 아니라 항공전자 장비의 진동 규격, 선박·플랜트의 충격 응답 스펙트럼(SRS) 평가에도 같은 원리가 쓰인다.

6. 관련 문서[편집]

응답 스펙트럼 개념은 1930년대 M. A. Biot가 제안하고 1940~50년대 G. W. Housner가 지진공학에 정착시켰다. 컴퓨터가 없던 시절, 지진 응답을 “곡선 한 장 읽기”로 환원한 것은 그야말로 공학적 혁명이었다. ↩
이 세 영역 구분은 우연이 아니라 물리다. 매우 뻣뻣한 구조(짧은 주기)는 지반과 함께 움직여 지반 최대가속도(PGA)에 수렴하고, 매우 유연한 구조(긴 주기)는 지반이 흔들려도 질량이 제자리에 남아 지반 최대변위에 수렴한다. ↩
“근접 모드에서 SRSS 쓰면 큰일 난다”는 지진공학의 유명한 교훈이다. Wilson이 1981년 CQC를 정식화하며 비대칭 3차원 건물에서 SRSS가 응답을 크게 과소평가할 수 있음을 보였고, 이후 CQC가 사실상 표준이 되었다. ↩
응답 스펙트럼은 태생적으로 선형 탄성 가정이다. 실제 구조는 큰 지진에서 항복하며 에너지를 흡수하는데, 이걸 반영하려고 반응수정계수(R factor)로 스펙트럼을 낮춰 쓰는 것이 설계기준의 관행이다. 엄밀한 비선형 거동은 결국 시간이력해석의 몫이다. ↩