모어-쿨롱 모델

구조해석 고체역학 마지막 수정: 2026-07-24 04:42:55

1. 개요[편집]

모어-쿨롱 모델 Mohr–Coulomb model
기원	Coulomb (1773) + Mohr (1882)
재료 상수	점착력 $c$, 내부마찰각 $\phi$
파괴 판정	면 위의 전단응력이 마찰 포락선에 닿을 때
응력공간 형상	불규칙 육각뿔 (모서리·꼭짓점 있음)
주 사용처	지반·암반·콘크리트·분체

모어-쿨롱 모델(Mohr–Coulomb model)은 어떤 면 위의 전단강도가 그 면에 걸리는 수직응력에 비례해 커진다고 보는 파괴 기준이자, 그것을 소성 이론의 항복함수로 옮겨 놓은 재료 모델이다. 지반공학과 암반공학에서 100년 넘게 기본값 자리를 지키고 있는 그 모델이 맞다. 핵심은 한 줄로 끝난다.

\tau_f = c + \sigma_n \tan\phi

$c$ 는 점착력(cohesion), $\phi$ 는 내부마찰각(internal friction angle), $\sigma_n$ 은 그 면의 수직응력이다(지반 관례상 압축을 양으로 잡는다). 흙과 암반은 두 가지로 버틴다 — 원래 서로 붙어 있는 힘 $c$ , 그리고 눌린 만큼 생겨나는 마찰 $\sigma_n\tan\phi$ . 나무토막을 책상에 올려놓고 옆으로 밀 때 필요한 힘이 무게에 비례하던 그 마찰 법칙을, 재료 내부의 임의 단면으로 확장한 것이다.

금속 항복 조건과 갈라지는 결정적 지점은 정수압 의존성이다. 금속은 사방에서 아무리 눌러도 항복강도가 변하지 않지만, 모래는 옆에서 조여주면(구속압이 커지면) 훨씬 큰 전단을 견딘다. 그래서 폰 미제스 응력이나 트레스카 항복 조건 같은 금속용 기준을 흙에 그대로 쓰면 강도를 통째로 잘못 예측한다.¹

2. 파괴 포락선과 모어 원[편집]

이 모델이 “모어”의 이름을 달고 있는 이유는 모어 원 없이는 설명이 안 되기 때문이다. 여러 구속압에서 삼축압축시험을 하면 파괴 순간의 응력 상태마다 모어 원이 하나씩 그려진다. 이 원들에 공통으로 접하는 직선을 그으면 그것이 파괴 포락선이고, 세로축 절편이 $c$ , 기울기가 $\tan\phi$ 다. 즉 $c$ 와 $\phi$ 는 이론에서 유도된 상수가 아니라 원들의 공통접선에서 읽어내는 실험값이다.

원과 직선이 접한다는 조건을 기하학적으로 정리하면 주응력 형태가 나온다. $\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \sigma_3$ 일 때,

\frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2} = c\cos\phi + \frac{\sigma_1 + \sigma_3}{2}\sin\phi

왼쪽은 최대 전단응력(가장 큰 모어 원의 반지름), 오른쪽은 점착 항과 평균 응력에 비례하는 마찰 항이다. 여기서 두 가지가 바로 보인다. 첫째, $\phi = 0$ 을 넣으면 $\sigma_1 - \sigma_3 = 2c$ 가 되어 트레스카 항복 조건과 정확히 같아진다 — 트레스카는 마찰이 없는 모어-쿨롱인 셈이다. 둘째, 중간 주응력 $\sigma_2$ 가 식에 없다. 최대·최소 주응력만 본다는 점도 트레스카와 공유하는 성질이고, 동시에 실제 흙이 $\sigma_2$ 에 어느 정도 반응한다는 실험 사실과 어긋나는 이 모델의 약점이기도 하다.

3. 응력공간에서의 모양[편집]

주응력 공간에서 모어-쿨롱 항복면은 정수압 축을 따라 뻗은 불규칙 육각뿔이다. 편차 평면(π-평면)으로 자르면 변의 길이가 번갈아 다른 육각형이 나오는데, 인장 자오선과 압축 자오선의 강도가 다르기 때문이다. 압축 쪽으로 갈수록 단면이 커지고, 인장 쪽으로 가면 한 꼭짓점(apex)으로 모인다. 이 꼭짓점이 정수압 인장만으로 재료가 끊어지는 한계인 $\sigma = c\cot\phi$ 지점이다.

문제는 육각뿔에는 여섯 개의 모서리와 하나의 꼭짓점이 있다는 것이다. 그 자리에서는 항복면의 법선이 유일하게 정의되지 않고, 곧 소성 유동 방향이 정해지지 않는다. 드러커-프라거 모델이 이 육각뿔을 매끄러운 원뿔로 갈아 끼운 것도 정확히 이 특이점을 없애려는 동기에서였다 — 원뿔을 육각뿔의 어디에 맞추느냐(외접/내접/평면변형)로 예측이 갈리는 문제까지 포함해, 그쪽 이야기는 해당 문서에 정리돼 있다. 정리하면 모어-쿨롱은 실험에 직접 맞춘 원본이고, 드러커-프라거는 수치적 편의를 위한 매끄러운 근사다.

4. 수치 구현의 골칫거리[편집]

유한요소법에 모어-쿨롱을 얹으면 소성·탄소성 해석의 표준 절차인 리턴 매핑을 그대로 쓴다. 탄성 시험 응력을 계산하고, 항복면 밖으로 나갔으면 뉴턴-랩슨법으로 소성 승수를 찾아 면 위로 되돌린다. 다만 되돌릴 면이 하나가 아니다.

시험 응력이 육각뿔의 한 면 바깥이면 그 면으로 되돌린다.
모서리 방향으로 나갔으면 두 면을 동시에 활성화한 다중 표면 리턴을 해야 한다.
꼭짓점 근처면 별도의 apex return이 필요하다.

이 분기를 제대로 짜지 않으면 인장이 지배하는 요소에서 조용히 발산한다. 그래서 상용 코드들은 모서리를 쌍곡선이나 작은 라운딩으로 매끄럽게 뭉개는 변형판(예: Abbo–Sloan 계열 평활화)을 쓰는 경우가 많다. 소성 승수의 부호 조건이 카루시-쿤-터커 조건으로 정리되는 것은 금속 소성과 형식이 같다.

또 하나의 함정은 유동법칙이다. 항복면에 수직한 연관 유동법칙을 쓰면 소성 변형에 부피 팽창(다일러턴시)이 딸려 나오는데, 마찰각을 그대로 쓰면 실제 모래보다 훨씬 크게 부푼다. 그래서 지반 해석은 팽창각 $\psi < \phi$ 를 따로 둔 비연관 유동법칙이 사실상 국룰이고, 그 대가로 접선 강성 행렬의 대칭성이 깨진다.² 게다가 마찰 재료는 변형이 얇은 전단띠로 몰리는 국소화를 일으켜 해가 격자 크기에 의존하게 되므로, 비선형 구조해석에서는 정칙화 없이 얻은 극한하중을 그대로 믿으면 안 된다.

5. 실무 — 흙과 암반에서[편집]

지반 실무에서 모어-쿨롱이 등장하지 않는 계산서는 찾기 어렵다.

사면 안정 — 극한평형법의 안전율은 결국 포락선이 주는 전단강도를 활동면 전단응력으로 나눈 값이다. 유한요소 쪽에서는 $c$ 와 $\tan\phi$ 를 같은 비율로 줄여 나가다 수렴이 깨지는 지점을 안전율로 삼는 강도감소법(c-φ reduction)을 쓴다. 마른 모래 무한사면의 안전율이 $\tan\phi/\tan\beta$ 라는 결과에서, 안식각이 곧 내부마찰각이라는 유명한 대응이 나온다.³
지지력·토압 — 랭킨/쿨롱 토압계수와 테르자기 지지력 공식의 계수들이 전부 $\phi$ 의 함수다. 옹벽 설계는 지금도 이 계보 위에 서 있다.
유효응력 — 물이 있으면 강도를 지배하는 것은 전응력이 아니라 유효응력 $\sigma' = \sigma - u$ 다. 간극수압 $u$ 가 오르면 마찰 항이 통째로 줄어 사면이 무너진다. 다공성 매질 유동과 지반 강도가 연성으로 묶이는 지점이며, 강우 사면 붕괴의 표준 설명이기도 하다. 반대로 물이 빠져나갈 시간이 없는 비배수 점토는 아예 $\phi = 0$ 으로 두고 비배수 전단강도만 쓰는 총응력 해석으로 다룬다.⁴
암반 — 절리가 발달한 암반은 강도 포락선이 눈에 띄게 휘어서, 직선 포락선인 모어-쿨롱보다 비선형인 호크-브라운 기준을 쓰는 경우가 많다. 다만 상용 솔버 입력을 위해 관심 응력 구간에서 접선을 그어 등가 $c$ , $\phi$ 로 바꿔 넣는 관행이 널리 퍼져 있다.
분체·입자계 — 이산요소법에서 입자 간 접촉 법칙에 마찰과 결합력을 넣으면, 집합체 수준에서 모어-쿨롱스러운 거동이 창발한다. 연속체 모델의 $c$ , $\phi$ 를 입자 수준 파라미터로 역산하는 연구가 이 지점에서 이뤄진다.

한계도 분명하다. 선형 포락선, 중간 주응력 무시, 파괴 후 연화·경화 미표현, 응력 이력 무시 — 그래서 실무에서는 캠클레이 계열이나 경화형 모델로 넘어가는 일이 잦다. 그럼에도 모어-쿨롱이 살아남는 이유는 재료 상수가 딱 두 개이고 둘 다 표준 시험으로 바로 나온다는 압도적인 실용성 때문이다. 파라미터 열 개짜리 정교한 모델은 그 열 개를 어디서 구하느냐는 질문 앞에서 대개 무너진다.

6. 관련 문서[편집]

쿨롱은 전기력의 그 쿨롱이 맞다. 정작 본인이 이 마찰 법칙을 발표한 1773년 논문의 주제는 옹벽과 아치의 토압 설계였고, 전기 실험은 그로부터 십수 년 뒤의 일이다. 공학자로 시작해 물리 교과서에 이름을 남긴 케이스. ↩
대칭 솔버만 지원하는 코드에서 비연관 유동을 쓰면 강성 행렬을 억지로 대칭화하게 되는데, 이때 수렴이 급격히 나빠진다. “지반 해석은 왜 이렇게 안 도나요”의 상당 부분이 여기서 나온다. ↩
마른 모래를 부으면 언제나 비슷한 각도의 원뿔이 쌓이는데, 그 각도가 대략 내부마찰각이다. 실험실에 안 가도 되는 몇 안 되는 재료 시험이라, 지반 수업 첫 주에 모래를 붓는 시연이 꼭 한 번은 나온다. ↩
상용 코드 입력창에서 $\phi$ 를 0으로 넣으면 그 순간 모델이 트레스카로 바뀐다. 비배수 조건의 점토를 ” $\phi = 0$ 해석”이라고 부르는 이유이며, 실수로 0을 넣고 “왜 구속압을 올려도 강도가 그대로냐”고 묻는 사고도 같은 자리에서 난다. ↩